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1 République Algérienne Démocratique et Populaire ECOLE NORMALE SUPERIEURE D’EN

1 République Algérienne Démocratique et Populaire ECOLE NORMALE SUPERIEURE D’ENSEIGNEMENT TECHNIQUE - ORAN - DÉPARTEMENT DU GÉNIE ELECTRIQUE MAGISTER PREMIERE ANNEE OPTION ANALYSE ET COMMANDE DES MACHINES ELECTRIQUES MODULE DES METHODES NUMERIQUES Sous la direction de : Mr. BELAIDI. Réalisé par : Mr. HAMANE BEKHADA. E-mail :hamane.bekhada@yahoo.com Promotion 2008-2009 Application des différentes méthodes numériques d’interpolations en 2 Sommaire Introduction générale 03 Chapitre I : Les méthodes numériques d’interpolation I.1. Définition de l’analyse numérique I.1.1. Définition générale I.1.2. Définition mathématique I.1.3. Définition algorithmique I.1.4. Champ d’application I.2. Position du problème I.3. L’objectif de l’interpolation I.4. Interpolation I.4.1. Interpolation linéaire I.4.2. L’interpolation de Lagrange I.4.3. Limites de l’interpolation polynomiale I.4.4. Interpolation par des splines I.4.5. Approximation au sens des moindres carrés I.4.5.1. Droite des moindres carrés I.4.5.2. Généralisation : polynôme des moindres carrés I.4.6. La méthode de Newton I.4.6.1.Évaluation de polynôme I.4.6.2. Calcul des coefficients I.4.7. La méthode de Neville 04 04 04 04 04 04 05 05 05 06 06 07 09 09 10 10 10 11 12 Chapitre II : Application de la méthode d’interpolation en MATLAB II.1. Présentation de MATLAB II.1.1. Introduction et Historique de MATLAB II.1.2. Les particularités de MATLAB II.1.3. MATLAB peut-il s’en passer de la nécessité de Fortran ou du C II.1.4.Écriture d’un programme MATLAB II.1.5. Génération de graphique avec MATLAB II.2. Opérations sur les polynômes dans MATLAB II.2.1. Multiplication des polynômes II.2.2. Division des polynômes II.2.3. Manipulation de fonctions polynomiales dans MATLAB II.2.4 Évaluation d’un polynôme II.3. Interpolation linéaire et splines cubiques II.4. Interpolation de Lagrange II.5. Interpolation au sens des moindres carrés II.6. Interpolation par La méthode de Newton II.6.1. Calcul Polynôme de Newton II.6.2. Calcul le coefficient de Newton II.7. Interpolation par La méthode de Neville Conclusion générale Référence Bibliographique 14 14 15 15 15 16 16 17 17 18 19 20 21 23 25 25 26 27 28 29 3 Introduction générale Depuis une vingtaines d’années, la puissance croissante des ordinateurs a permis d’aborder, puis de résoudre complètement des problèmes de plus en plus nombreux et de plus en plus difficiles, par leur complexité propre et par le nombre des informations à traiter ,l’ingénieur d’aujourd’hui ne doit pas ignorer ces techniques ,ni les situations nouvelles qu’elles permettent de considérer . De ce fait, il doit posséder une bonne formation tant en Analyse Mathématique qu’en Analyse Numérique et en Analyse Statistique, en vue d’une meilleur compréhension des phénomènes et donc d’une meilleur utilisation de ce nouveau moyen d’investigation et de décision. Les principaux problèmes rencontrés par des ingénieurs dans les domaines scientifiques et techniques ont souvent une origine dans une des grandes branches de la physique ou de la mécanique où les équations différentielles, intégral, intégro-différentielles te aux dérivées partielles jouent un rôle tout à fait fondamental. On peut citer, par exemple, en : Génie atomique, les problèmes de transfert de chaleur et de transfert de neutrons. Sciences des matériaux, les problèmes de diffusion. Mécanique quantique, les problèmes de propagations des ondes (Equation de SCHRODINGER). Génie civil, les problèmes de résistance des matériaux et de mécanique des sols. Bâtiments, les problèmes de mécanique des structures et d’acoustique. Automobile et Aviation, les problèmes de lissage des carrosseries et des cellules. Electrotechnique, l’étude des réseaux complexes de distribution. Hydraulique, les écoulements permanents et transitoires, la propagation d’ondes, les coups de bélier. Par ailleurs, dans toutes les branches d’activités industrielles et économiques, en particulier dans les génies (chimique, civil, électrique, mécanique, métallurgique,...),les ingénieurs sont amenés à résoudre des problèmes d’optimisation c’est-à-dire à choisir, entre plusieurs solutions possibles, celle qui est la meilleure .Il s’agit donc de minimiser ,ou de maximiser ,un critère (coût, profit, distance, temps, masse, énergie, rendement,…) sur l’ensemble est définit par un système d’équation et/ou d’inéquation qui traduisent les contraintes imposées aux paramètres soit par des raisons techniques, soit par des règlements. Un problème d’optimisation se rencontre sous différentes formes en particulier en programmation linéaire et non linéaire, en théorie de l’approximation, en théorie de contrôle (avec équations différentielles ou aux dérivées partielles), en programmation stochastique, en programmation en nombre entier, en programmation dynamique. [1] Le travail présenté, consiste à l’étude des méthodes numériques de l’interpolation Le premier chapitre sera consacré à l’étude des méthodes numériques et toutes les méthodes d’interpolation. Enfin Le deuxième chapitre, consistera en une présentation de MATLAB et la programmation des ces méthodes d’interpolation en MATL 4 Chapitre I : Les méthodes numériques d’interpolation I.1. Définition de l’analyse numérique : [1] I.1.1 .Définition générale : L’analyse numérique est le domaine des mathématiques où l’on étudie des algorithmes permettant de résoudre des problèmes de l’analyse mathématiques au moyen du calcul arithmétique. I.1.2. Définition mathématique : La mathématique de l’analyse numérique s’intéresse à l’étude des conditions d’existence et d’unicité de la solution ainsi qu’aux performances du procédé de résolution (convergence, stabilité, précision, etc.) d’un problème. I.1.3 .Définition algorithmique : La résolution algorithmique d’un problème comporte : L’approximation d’un problème mathématique décrit en termes d’opérateurs de l’analyse (i.e. : dérivées, intégrales …) par un problème numérique définit au moyen des seuls opérations arithmétiques. L’élaboration d’un procédé de résolution de ce problème numérique associé. I.1.4 .Champ d’application : Les méthodes numériques s’intéressent à trouver une approximation de la solution de : 1-Problème dont on ne connaît pas l’expression analytique. 2-Problème dont la solution analytique est inconnue ou inexploitable. Les méthodes numériques ont donc les caractéristiques suivantes : Elles peuvent remplacer les méthodes analytiques quand celles-ci font défaut ou qu’elles sont de mise en œuvre trop complexe ; Elles conduisent à une approximation de la solution, la précision pouvant généralement s’améliorer au prix d’un effort de calcul plus important. Elles sont directement adaptables sur ordinateur, mais elles peuvent parfois échouer. Pour mon cas j’ai choisi les méthodes numériques des interpolations. I.2. Position du problème : [5] Étant donné un ensemble de doublets numériques (résultats expérimentaux, par exemple), le problème à résoudre consiste à trouver un modèle mathématique (polynomial, trigonométrique, exponentiel, etc.), et ses paramètres significatifs (c'est à dire ses coefficients), afin de réduire (on parle de régression) toute une information en une expression mathématique utilisable, c’est à dire calculable, intégrable, dérivable, etc. Lorsque les doublets sont considérés comme ‘sûrs’, au sens expérimental du mot, on tentera une interpolation qui restituera toutes les valeurs numériques des doublets là où ils se trouvent. Lorsque les doublets sont entachés d’incertitudes sur leurs déterminations, en particulier s’ils sont très nombreux, on tentera une approximation qui restituera ‘au mieux’ l’information contenue dans les doublets. On raisonne sur une fonction numérique ‘f’ à une seule variable réelle x, connue pour N valeurs. Soit n, le nombre de paramètres du modèle mathématique à déterminer. 5 (a) (b) Figure. I.1. (a) : Le modèle est vérifié pour tous Les doublets interpolation Figure. I.1. (b) : Le modèle est optimisé entre tous les doublets approximation I.3. L’objectif de l’interpolation : [5] L’objectif principal de l’interpolation est d’interpoler des données connues à partir des points discrets. Dans ce cas, la valeur de la fonction entre ces points peut être estimée. Cette méthode d’estimation peut être étendue et utilisée dans divers domaines ; à savoir la dérivation et l’intégration numérique des polynômes. I.4. Interpolation : [5] Étant donné (n+1) points {(x0,y0), (x1,y1),..., (xn,yn)}.Les (xi)0i n sont appelés points d’interpolation. Les (yi)0i n représentent les valeurs d’interpolation. Pour interpoler une fonction f, on définit ces valeurs d’interpolation comme suit : yi = f (xi), i=0,…, n I.4.1. Interpolation linéaire : [6] L'interpolation la plus simple est l'interpolation linéaire qui s'écrit à une dimension. f(c) = pfi + (1-p) fi+1 ; 1iN-1 Ou [xi ; xi+1] est le sous-intervalle contenant x et i i i x x x x P      1 1 Cette méthode est imparable. Non seulement elle est rapide et ne présuppose pas un espacement régulier des points, mais elle assure que f(x) est toujours situe dans le rectangle défini par les points diamétralement opposes (xi ; fi) et (xi+1 ; fi+1). Son inconvénient majeur, surtout si l'échantillonnage est « diffus", elle produit une fonction d'apparence non lissée, plutôt en ligne brisée. Ceci peut être tries gênant (en particulier, la dérivée première est discontinue). 6 I.4.2 L’interpolation de Lagrange : [4] Une solution simple, élégante et économique de ce problème est fournie par l’utilisation de la base des polynômes de Lagrange. On considère les n + 1 polynômes Li de degré ≤ n qui vérifient, pour tout i et j compris entre 0 et n, les égalités :      0 ) ( 1 ) ( j i i i x L x L Les polynômes Li sont détermines de façon unique par les n + 1 équations ci-dessus. Il est facile de montrer qu’ils forment une base de l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n et qu’ils s’´ecrivent :       n i j j j i j i x x x x x L 0 ) ( Exprimé dans cette nouvelle base, le polynôme d’interpolation s’´ecrit    n i i i x L y x P uploads/Management/ application-des-differentes-methodes-numeriques-d-interpolations-en-matlab.pdf