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Table des matières I Le calcul Numérique et analyse d’erreur 3 I.1 Modélisation

Table des matières I Le calcul Numérique et analyse d’erreur 3 I.1 Modélisation et sources d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.2 Estimation de l’erreur de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.2.1 Erreur absolue : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.2.2 Erreur relative : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.2.3 Opérations sur les erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.3 Représentation des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I.3.1 Les chiffres signiﬁcatifs et l’arrondi . . . . . . . . . . 13 I.4 Codage sur ordinateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 I.4.1 Erreur de représentation et précision machine . . . . . 18 I.4.2 Quelques valeurs particulières : . . . . . . . . . . . . 21 I.5 Arithmétique numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 I.5.1 Les opérations élémentaires sur machine . . . . . . . 23 I.5.2 Conséquences dangereuses . . . . . . . . . . . . . . 23 I.5.3 Propriétés des opérations sur les ﬂottants . . . . . . . 28 I.5.4 Quelques solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 I.6 Evaluer la qualité d’un calcul numérique . . . . . . . . . . . . 29 I.6.1 Conditionnement d’une fonction . . . . . . . . . . . . 30 I.6.2 Stabilité d’un calcul numérique . . . . . . . . . . . . 31 I.7 Processus itératifs et convergence . . . . . . . . . . . . . . . 35 Références bibliographiques 39 II Résolution de f(x) = 0 41 II.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 II.2 Estimation de la solution approchée . . . . . . . . . . . . . . 42 II.3 Résolution par les méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . 43 II.3.1 Convergence d’une méthode itérative . . . . . . . . . 43 II.3.2 Résolution par la méthode de bissection . . . . . . . . 44 II.3.3 Méthode du point ﬁxe . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 II.3.4 Convergence de la méthode et choix de g(x) : . . . . . 53 II.3.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 II.4 Résolution par la méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . 60 II.4.1 Théorème de Taylorauthors]Taylor . . . . . . . . . . . 60 II.4.2 Principe et algorithme de la méthode de Newton . . . 60 II.4.3 Convergence de la méthode de Newton . . . . . . . . 61 II.4.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 II.4.5 Accélération de la convergence et algorithme de New- tonauthors]Newton pondéré . . . . . . . . . . . . . . 63 II.5 Résolution par la méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . 63 II.5.1 Principe de la méthode de la sécante . . . . . . . . . . 63 II.5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 II.6 Résolution des équations polynomiales . . . . . . . . . . . . . 66 II.6.1 Rappels de quelques propriétés des polynômes . . . . 66 II.6.2 Schéma de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 II.6.3 Méthode de Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 II.6.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 II.6.5 Bilan comparatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 II.7 Résolution avec la librairie de Matlab . . . . . . . . . . . . . 77 II.7.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 II.7.2 Limitations : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 III Interpolation et approximation Polynômiales 81 III.1 Position du problème de l’interpolation . . . . . . . . . . . . 82 III.2 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 III.2.1 L’erreur d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . 84 III.3 Interpolation de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 III.3.1 Cas particulier de points équidistants . . . . . . . . . 92 III.4 Position du problème de l’approximation . . . . . . . . . . . . 101 III.5 Approximation au sens des moindres carrées . . . . . . . . . . 102 III.5.1 Régression linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 III.5.2 Cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 III.5.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Chapitre I Le calcul Numérique et analyse d’erreur L IDÉE de faire des calculs à moindre effort est aussi veille que les mathéma- tiques comme en témoigne, entre autres, les travaux de John Napier. Au 15me siècle, extraire une racine carrée ou élever à une puissance importante représentaient des opérations très coûteuses à faire à la main et pourtant très courantes dans la vie de tous les jours quand on est astronome ou naviga- teur. En cherchant alors à rendre possible des calculs compliqués jusqu’alors, Napier mets en place une méthode numérique qui conduit à la déﬁnition du logarithme. Ainsi, par exemple, pour calculer x = √ 2357814×548127556, la méthode traditionnelle fait appel à une multiplication de deux grands nombres et une démarche très longue d’extraction de racine. Napier propose, comme alternative, la méthode suivante : x = √ 2357814×548127556 = 2.357814.106 ×5.48127556.108 ×100.5 X = log10 x = log10 2357814+log10 548127556+log10 100.5 = 6+log10(2.357814)+8+log10(5.48127556)+0.5 Connaissant log10 2.357814 ≈6.3725 et log10 5.48127556 ≈8.7389, on cal- cule la valeur de X. Finalement, on déduit la valeur dont le log correspond le mieux à X. Ce n’est rien d’autre que la valeur de x approchée avec une certaine erreur.[1] La mise en oeuvre numérique de cette méthode, comme pour toute autre mé- thode numérique à l’époque , se faisait à l’aide de valeurs tabulées qu’on Méthodes Numériques appelle des feuilles de calcul. Cette table fournit les valeurs du logarithme pour les nombres compris entre 0 et 10 de manière discrète (donc pas pour tous !). Ce n’est que dans la foulée de la guerre mondiale et la course vers la bombe atomique que les ordinateurs arrivent pour remplacer les feuilles de calculs. Depuis, une nouvelle discipline appelée Analyse numérique est née à l’interface des mathématiques et de l’informatique avec comme objectif l’éla- boration et la mise en pratique des méthodes permettant de résoudre, par des calculs purement numériques, des problèmes d’analyse mathématique délicats. De la simple calculatrice aux super-ordinateurs, les machines se basent uploads/Management/ an-ch1-2-3-4-final.pdf