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Corrige td3 ta2008 Master Math ?ematiques Corrig ?e de la feuille de TD Cat ?egories et Foncteurs Gr ?egory Ginot Avant de commencer le corrig ?e proprement dit on rappelle que deux foncteurs G C ? D et D D ? C sont adjoints si et seulement si on a un iso

Master Math ?ematiques Corrig ?e de la feuille de TD Cat ?egories et Foncteurs Gr ?egory Ginot Avant de commencer le corrig ?e proprement dit on rappelle que deux foncteurs G C ? D et D D ? C sont adjoints si et seulement si on a un isomorphisme de bifoncteur HomD G n Ag ?? HomC D Ad ouAg et Ad sont inverses l ? un de l ? autre Ceci est ?equivalent a dire que pour tout f ?? HomC X X et g ?? HomD Y Y on a un diagramme commutatif dont les eches horizontales sont des isomorphismes F HomD G X Y n g ? HomD GO X Y n G f ? HomD G X Y n Ag X Y ?? Ad X Y Ag X Y ?? Ad X Y Ag X Y ?? Ad X Y HomC X D Y D g ? F HomC XO D Y f ? HomC X D Y Adj Notons que pour g Y ? Z l ? application g ? HomD X Y ? HomD X Z est simplement la composition par g c ? est adire l ? application f ? g f La partie sup ?erieure du diagramme traduit donc le fait que Ag X et Ad X est un morphisme de foncteur pour la deuxieme variable alors que la partie basse traduit le fait que Ag Y et Ad Y est un morphisme de foncteur pour la premi ere variable Puisque Ag et Ad sont inverse l ? un de l ? autre on a Ag X Y Ad X Y ?? pour tous objets X Y Exercice Soit C une cat ?egorie On note IdC C ? C le foncteur identit ?e et End IdC l ? ensemble des endormorphismes de foncteurs de IdC Montrer que la loi de composition des morphismes de foncteurs se restreint a ? End IdC et est commutative Solution Par d ?e ?nition d ? un morphisme de foncteur aussi appel ?e transformation naturelle on a qu ? un ?el ?ement h de End IdC est la donn ?ee d ? une famille de eches hA A ? A dans la cat ?egorie C pour tout objet A ?? C v ?eri ?ant que quel que soit A ?f B le diagramme suivant soit commutatif A f B hA hB F A f F B Rappelons qu ? un morphisme de foncteur la compos ?ee de deux endormorphismes de foncteurs h g est obtenue par composition des eches hA et gA c ? esta dire g h A gA hA En prenant f gA dans le digramme pr ?ec ?edent on obtient imm ?ediatement que gA hA hA gA pour tout objet A ce qui conclut l ? exercice CExercice Soit f A ? B un morphisme d ? anneaux commutatifs unitaires Montrer que a b ? f a b munit B d ? une structure de A-module Montrer que f induit un foncteur naturel Rf