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N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MATHÉMATIQUE N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MA

N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MATHÉMATIQUE N. BOURBAKI É L É M E N T S D E MATHÉMATIQUE TOPOLOGIE GÉNÉRALE Chapitres 5 à 10 123 Réimpression inchangée de l’édition originale de 1974 © Hermann, Paris, 1974 © N. Bourbaki, 1981 © N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007 (décembre 2006; nouveau tirage février 2007) ISBN 978-3-540-34399-8 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media springer.com Maquette de couverture: WMXDesign GmbH, Heidelberg Imprim´ e sur papier non acide 41/3100/YL - 5 4 3 2 1 0 - Mode d'emploi de ce traité NOUVELLE ÉDITION 1. Le traité prend les mathématiques à leur début, et donne des démonstra- tions complètes. Sa lecture ne suppose donc, en principe, aucune connaissance mathématique particulière, mais seulement une certaine habitude du raisonne- ment mathématique et un certain pouvoir d'abstraction. Néanmoins, le traité est destiné plus particulièrement à des lecteurs possédant au moins une bonne connaissance des matières enseignées dans la première ou les deux premières années de l'université. 2. Le mode d'exposition suivi est axiomatique et procède le plus souvent du général au particulier. Les nécessités de la démonstration exigent que les chapitres se suivent, en principe, dans un ordre logique rigoureusement fixé. L'utilité de certaines considérations n'apparaîtra donc au lecteur qu'à la lecture de chapitres ultérieurs, à moins qu'il ne possède déjà des connaissances assez étendues. 3. Le traité est divisé en Livres et chaque Livre en chapitres. Les Livres actuellement publiés, en totalité ou en partie, sont les suivants: Théorie des Ensembles désigné par E Algèbre y ) A Topologie générale Y ) T G Fonctions d'une variable réelle Y Y FVR Espaces vectoriels topologiques y ) EVT Intégration Y, INT Algèbre commutative Y, AC Variétés différentielles et analytiques Y > VAR Groupes et algèbres de Lie Y, LIE Théories spectrales $ 3 TS Dans les six premiers Livres (pour l'ordre indiqué ci-dessus), chaque énoncé ne fait appel qu'aux définitions et résultats exposés précédemment dans ce Livre ou dans les Livres antkrieurs. A partir du septième Livre, le lecteur trouvera éventuellement, au début de chaque Livre ou chapitre, l'indication précise des autres Livres ou chapitres utilisés (les six premiers Livres étant toujours supposés connus). 4. Cependant, quelques passages font exception aux règles précédentes. Ils sont placés entre deux astérisques: * . . . , . Dans certains cas, il s'agit seulement de faciliter la compréhension du texte par des exemples qui se réfèrent à des faits que le lecteur peut déjà connaître par ailleurs. Parfois aussi, on utilise, non seulement les résultats supposés connus dans tout le chapitre en cours, mais des résultats démontrés ailleurs dans le traité. Ces passages seront employés libre- ment dans les parties qui supposent connus les chapitres où ces passages sont insérés et les chapitres auxquels ces passages font appel. Le lecteur pourra, nous l'espérons, vérifier l'absence de tout cercle vicieux. 5. A certains Livres (soit publiés, soit en préparation) sont annexés des fascicules d e résultats. Ces fascicules contiennent l'essentiel des définitions et des résultats du Livre, mais aucune démonstration. 6. L'armature logique de chaque chapitre est constituée par les dgnitions, les axiomes et les théorèmes de ce chapitre; c'est là ce qu'il est principalement nécessaire de retenir en vue de ce qui doit suivre. Les résultats moins importants, ou qui peuvent être facilement retrouvés à partir des théorèmes, figurent sous le nom de t( propositions O, <( lemmes ) ) , t( corollaires o, t( remarques D , etc.; ceux qui peuvent être omis en première lecture sont imprimés en petits caractères. Sous le nom de ((scholie o, on trouvera quelquefois un commentaire d'un théorème particulièrement important. Pour éviter des répétitions fastidieuses, on convient parfois d'introduire cer- taines notations ou certaines abréviations qui ne sont valables qu'à l'intérieur d'un seul chapitre ou d'un seul paragraphe (par exemple, dans un chapitre où tous les anneaux considérés sont commutatifs, on peut convenir que le mot a anneau ) ) signifie toujours t( anneau commutatif O ) . De telles conventions sont explicitement mentionnées à la tête du chapitre dans lequel elles s'appliquent. 7. Certains passages sont destinés à prémunir le lecteur contre des erreurs graves, où il risquerait de tomber; ces passages sont signalés en marge par le signe 2 (t( tournant dangereux r). 8. Les exercices sont destinés, d'une part, à permettre au lecteur de vérifier qu'il a bien assimilé le texte; d'autre part, à lui faire connaître des résultats qui n'avaient pas leur place dans le texte; les plus difficiles sont marqués du signe 7. 9. La terminologie suivie dans ce traité a fait l'objet d'une attention parti- culière. On s'est eforcé de nejamais s'écarter d e la terminologie repe sans de très sérieuses raisons. 10. On a cherché à utiliser, sans sacrifier la simplicité de l'exposé, un langage rigoureusement correct. Autant qu'il a été possible, les abus de langage ou de notation, sans lesquels tout texte mathématique risque de devenir pédantesque et même illisible, ont été signalés au passage. 11. Le texte étant consacré à l'exposé dogmatique d'une théorie, on n'y trouvera qu'exceptionnellement des références bibliographiques; celles-ci sont groupées dans des notes historiques. La bibliographie qui suit chacune de ces Notes ne comporte le plus souvent que les livres et mémoires originaux qui ont eu le plus d'importance dans l'évolution de la théorie considérée; elle ne vise nulle- ment à être complète. Quant aux exercices, il n'a pas été jugé utile en général d'indiquer leur provenance, qui est très diverse (mémoires originaux, ouvrages didactiques, recueils d'exercices). 12. Dans la nouvelle édition, les renvois à des théorèmes, axiomes, définitions, remarques, etc. sont donnés en principe en indiquant successivement le Livre (par l'abréviation qui lui correspond dans la liste donnée au no 3)' le chapitre et la page où ils se trouvent. A l'intérieur d'un même Livre la mention de ce Livre est supprimée; par exemple, dans le Livre d'Algèbre, E, III, p. 32, cor. 3 renvoie au corollaire 3 se trouvant au Livre de Théorie des Ensembles, chapitre III, page 32 de ce chapitre; II, p. 23, Remarque 3 renvoie à la Remarque 3 du Livre d'Algèbre, chapitre II, page 23 de ce chapitre. Les fascicules de résultats sont désignés par la lettre R; par exemple: EVT, R signifie ( ( fascicule de résultats du Livre sur les Espaces vectoriels topologiques ) > . Comme certains Livres doivent seulement être publiés plus tard dans la nouvelle édition, les renvois à ces Livres se font en indiquant successivement le Livre, le chapitre, le paragraphe et le numéro où se trouve le résultat en question; par exemple: AC, III, 5 4, no 5, cor. de la prop. 6. Au cas où le Livre cité a été modifié au cours d'éditions successives, on indique en outre l'édition. CHAPITRE V Groupes à un paramètre t j 1. SOUS-GROUPES ET GROUPES QUOTIENTS DE R 1. Sous-groupes fermés de R PROPOSITION 1. - Tout sous-groupe fermé d u groupe additif R, distinct d e R et d e {O), est u n groupe discret d e la forme a.Z, où a > O (autrement dit, est formé des multiples entiers de a). Montrons d'abord que tout sous-groupe non discret de R est partout dense. Si un sous-groupe G de R n'est pas discret, pour tout E > O, il existe un point x # O de G appartenant à l'intervalle (-c, +E); comme les multiples entiers de x appartiennent à Gy tout intervalle de longueur > E contient un tel multiple, c'est-à-dire que G est partout dense dans R. Tout sous-groupe fermé distinct de R est donc discret. Reste à montrer que tout sous-groupe discret G de R, non réduit à 0, est de la forme a.Z, où a > 0. Or, la relation - G = G montre que l'ensemble H des éldments >O de G n'est pas vide; si b EH, l'intersection de l'intervalle (O, b) et de G est un ensemble compact et discret, doncjni; soit a le plus petit des éléments de H contenus dans (O, b); pour tout x E Gy posons m = [xla] (partie entière de xla) ; on a x - m a E G et O < x - m a < a; d'après la définition de a, x - m a = O, ce qui prouve que G = a.Z. 2. Groupes quotients de R Tout groupe quotient s$aré de R est de la forme R/H, où H est un sous-groupe fermé de R (III, p. 13, prop. 18) ; donc, d'après la prop. 1 de V, p. 1 : PROPOSITION 2. - uploads/Litterature/ topologie-generale-chapitres-5-a-10.pdf