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Université Nice Sophia Antipolis 2012–2013 L1 PC - Analyse Jean-Baptiste Campes

Université Nice Sophia Antipolis 2012–2013 L1 PC - Analyse Jean-Baptiste Campesato Devoir libre À rendre le 17/12/12 La note tiendra compte de la rédaction et de la présentation. IL FAUT TOUT JUSTIFIER. Il s’agit d’un travail individuel. Suites équivalentes Déﬁnition : on dit que deux suites (un)n et (vn)n sont équivalentes s’il existe une suite (εn)n tendant vers 1 telle que un = εnvn. On note un ∼vn. Il s’agit d’une relation d’équivalence. Caractérisation : lorsque (vn)n est non nulle à partir d’un certain rang, un ∼vn ⇔un vn −→ n∞1. Proposition : si un ∼vn, alors soit (un)n et (vn)n ont toutes les deux une limite, et en l’occurrence la même, soit aucune ne possède de limite. Proposition : si un ∼vn et si u′ n ∼v′ n alors unu′ n ∼vnv′ n. Problème : intégrales de Wallis Pour tout n ∈N, on considère In = Z π 2 0 (sin t)ndt. 1. Montrer par un changement de variable que ∀n ∈N, In = Z π 2 0 (cos t)ndt. 2. Calculer I0 et I1. 3. (a) Montrer que la suite (In)n∈N est décroissante à termes strictement positifs. (b) En déduire qu’elle converge. 4. Montrer que pour tout n ≥2, n In = (n −1)In−2 (1). 5. (a) Montrer que In+1 ∼In (on pourra utiliser la monotonie de (In) ainsi que la relation (1) pour conclure avec le théorème des gendarmes). (b) Déduire de la relation (1) que la suite ((n + 1)InIn+1)n∈N est constante. (c) Déduire des questions précédentes que In ∼p π 2n. (d) En déduire lim n∞In et lim n∞ √ n · In. 6. (a) Déduire de la relation (1) que I2p = 1 × 3 × 5 × · · · × (2p −1) 2 × 4 × 6 × · · · × (2p) π 2 = (2p)! 22p(p!)2 π 2 et que I2p+1 = 2 × 4 × 6 × · · · × (2p) 1 × 3 × 5 × · · · × (2p + 1) = 22p(p!)2 (2p + 1)! Attention : il y a, à chaque fois, deux égalités à montrer ! On retrouve que la suite ((n + 1)InIn+1)n∈N est constante. (b) Montrer que lim p∞ 24p(p!)4 ((2p)!)2p = π (Formule de Wallis). Exercice 1 1. Donner le DL3(2) de x 7→√ x. 2. Déterminer lim x→0 ax + bx 2 ! 1 x . http://math.unice.fr/~campesat/ 1/2 3. Déterminer lim x→0 2x ln 1+x 1−x . Exercice 2 Prouver que les fonctions suivantes admettent une asymptote en +∞dont on donnera l’équation. On étudiera la position de la courbe par rapport à son asymptote. 1. f : x 7→x ch x −sh x ch x −1 . 2. f : x 7→x + 1 1 + e 1 x . Exercice 3 Donner une primitive de : 1. x 7→cos( √ x) (on pourra commencer par un changement de variable). 2. x 7→ x3 + 2x x2 + x + 1 (on pourra commencer par réaliser une division euclidienne). http://math.unice.fr/~campesat/ 2/2 uploads/Litterature/ devoir-libre-suites-equivalentes.pdf