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Mathématiques : du lycée aux CPGE scientiﬁques Lycées Louis-Le-Grand et Henri-I

Mathématiques : du lycée aux CPGE scientiﬁques Lycées Louis-Le-Grand et Henri-IV Introduction Origine et buts de de document Lorsqu’on discute avec des lycéens se destinant aux CPGE scientiﬁques, deux questions re- viennent fréquemment. - Comment un lycéen peut-il se préparer eﬃcacement aux CPGE, ou, plus largement, à des études supérieures scientiﬁques ? - Quelles sont les mathématiques accessibles à un lycéen intéressé par la discipline et désirant un peu dépasser le programme de terminale ? Lors de la réforme des CPGE de 2013, un groupe de professeurs du lycée Louis-Le-Grand a élaboré un document pour répondre à ces deux demandes. Ce texte, en libre accès sur le site du lycée depuis 2013, a été largement consulté. La nouvelle réforme du lycée, eﬀective en terminale l’année scolaire 2020-2021, en rendait nécessaire une mise à jour. L’intérêt manifesté par plusieurs professeurs de mathématiques du lycée Henri-IV fait que la nouvelle version a bénéﬁcié du travail d’un groupe de professeurs du secondaire et de CPGE issus des deux établissements, qui espèrent ainsi aider les lycéens à approfondir les mathématiques de l’enseignement secondaire. Ce document, qui peut être travaillé dès le début de l’année de terminale, voire avant pour certaines parties, n’a pas vocation à se substituer aux cours du lycée, mais plutôt à les compléter. Il peut aussi donner des points de départ pour le « grand oral » du baccalauréat. Les choix principaux demeurent. - Permettre au lecteur de revoir une grande partie des notions étudiées au lycée, en spécialité ou en option, dans l’optique de l’enseignement supérieur. À cet eﬀet, le style d’écriture est souvent plus proche du post-bac que de la terminale. - Insister sur les techniques de calcul, dont une solide maîtrise est indispensable pour la suite des études mathématiques. Nous avons souvent proposé des calculs assez « généraux », plus formateurs que des cas particuliers numériques. - Oﬀrir un choix d’exercices de diﬃculté variée, de manière à permettre plusieurs niveaux d’utilisation. - Ne pas se limiter à un pur entraînement technique, en proposant un nombre conséquent d’énoncés aboutissant à des résultats signiﬁcatifs. - Mettre en évidence les liens entre les diﬀérentes parties des mathématiques étudiées au lycée, aﬁn de créer autant de synergies que possible. 1 - Introduire, pour les lecteurs les plus motivés, un certain nombre de compléments, choisis pour leur intérêt conceptuel ou technique, prolongeant les notions étudiées sans nécessiter de dévelop- pements théoriques trop importants. - Donner, de façon non systématique, quelques indications historiques sur le matériel présenté. Mais nous avons opéré un certain nombre de modiﬁcations. - La liste des exercices a été très considérablement augmentée. En particulier, nous avons ajouté aux premiers chapitres un nombre conséquent d’exercices assez simples. - Nous avons ajouté un chapitre d’arithmétique et un chapitre de probabilités. - Les nouveaux programmes de terminale, plus ambitieux que les anciens, nous ont conduits à aller plus vite sur certains rappels et, symétriquement, à aller un peu plus loin sur quelques points. Organisation et contenu Pour ne pas alourdir démesurément le texte, nous n’avons pas visé à l’exhaustivité. Nous avons choisi, dans les programmes de terminale, ce qui nous a semblé le plus formateur en vue des études supérieures : analyse de base, dans une optique assez proche du « calculus » anglo-saxon, probabi- lités, nombres complexes et équations algébriques, arithmétique. Le texte est maintenant découpé en douze chapitres. Les neuf premiers relèvent du programme de la spécialité mathématiques, les trois derniers de celui de l’option mathématiques expertes : - les chapitres 1 à 4 reprennent des notions de base étudiées pendant les trois années de lycée ; - les chapitres 5, 6 et 8 couvrent le cœur du programme d’analyse du lycée (limites, dérivation, intégration) ; - le chapitre 7 introduit les très naturelles fonctions puissances non entières, qui enrichissent à peu de frais la collection des « fonctions usuelles » ; - le chapitre 9, consacré aux probabilités, permet plusieurs interactions avec les chapitres pré- cédents ; - les chapitres 10 et 11 traitent de deux thèmes fortement liés, les nombres complexes et les équations algébriques ; - le chapitre 12 est consacré à l’arithmétique des nombres entiers. Les chapitres sont eux-mêmes divisés en paragraphes. Un paragraphe commence par des rappels (ou parfois des compléments) et/ou des exemples et est suivi d’une liste fournie d’exercices. 1 Les résultats les plus classiques sont signalés par le symbole (∗). Nous fournirons des indications ou des corrigés succincts pour une partie signiﬁcative des exer- cices dans un autre document. La diﬃculté d’un exercice est repérée par un numéro : 1 ⃝désigne un exercice facile, 2 ⃝un exercice de niveau moyen, 3 ⃝un exercice assez diﬃcile, 4 ⃝un exercice diﬃcile et 5 ⃝un exercice très diﬃcile. La diﬃculté peut résider dans le degré d’initiative nécessaire, dans la technique, dans la généralité de l’énoncé 2, dans le lien à faire entre plusieurs questions, voire avec d’autres exercices (le plus souvent explicitement signalés), ou dans la diversité des notions utilisées. Ces mentions, destinées à vous aider dans votre travail, sont d’une part subjectives, d’autre part relatives : le niveau d’ensemble des exercices proposés est élevé. En particulier, les exercices de niveau 4 ⃝et 5 ⃝ dépassent souvent de loin les attendus de terminale. 1. Les rappels de cours sont assez hétérogènes ; ils sont davantage développés dans les chapitres 10, 11, 12. 2. Un exercice dans lequel on demande d’établir des propriétés relatives à une fonction f « générale » n’est pas forcément plus délicat qu’un exercice qui traite d’une fonction f particulière, mais moins habituel dans l’enseignement secondaire (et en revanche monnaie courante dans le post-bac). 2 Mode d’emploi : plusieurs parcours possibles Ce document est très volumineux. Vous ne devez pas viser à en traiter l’intégralité, mais choisir ce qui vous est le plus proﬁtable en termes de niveaux et de thèmes. Ainsi, le lecteur désireux d’aﬀermir ses bases aura intérêt à travailler en priorité les chapitres 1 à 8, à l’exception de 7, puis éventuellement 10, en omettant les compléments et en se concentrant sur les exercices de niveau 1 ⃝, 2 ⃝et éventuellement 3 ⃝. À l’inverse, celui qui, maîtrisant très solidement le programme, désire surtout l’approfondir, pourra se concentrer sur les compléments, les exercices de niveau 3 ⃝à 5 ⃝, et privilégier les chapitres (7 à 12), de contenu plus riche. Il est conseillé au lecteur de diviser le travail sur un paragraphe en deux temps. - Étude des rappels, des exemples, éventuellement des compléments. Pour chaque exemple, il est conseillé de refaire complètement (et sans recopier le texte) raisonnements et calculs. - Résolution d’une partie des exercices. Ne pas trouver, même en y passant du temps, un exercice de niveau 1 ⃝ou 2 ⃝, ne préjuge en rien de votre future réussite en CPGE, ou, plus généralement, dans l’enseignement supérieur. Sécher fait partie de l’activité mathématique. D’une part, aboutir après un long travail procure une grande satisfaction. D’autre part, même en cas d’échec, le temps passé à chercher permet de progresser et de comprendre réellement une solution ; inversement, lire le corrigé d’un exercice sans s’être réellement engagé dans la recherche ne procure le plus souvent aucun bénéﬁce. La première version de ce texte comportait un certain nombre d’erreurs, que des lecteurs nous ont gentiment signalées. Nous trouvons ici l’occasion de les remercier chaleureusement. Malgré nos eﬀorts, la présente mouture contient certainement des coquilles. Vous pouvez nous les signaler en écrivant à l’adresse nicolas.emmanuelle.tosel@orange.fr Nous espérons que l’étude de ce document vous procurera plaisir et proﬁt. 3 Sommaire 1 Rédaction, modes de raisonnement 7 1.1 Rédaction, quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Vocabulaire et notations utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Le raisonnement par récurrence (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Le raisonnement par récurrence (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Le raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 uploads/Litterature/ poly-rentree-mpsi.pdf