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Bts ds4 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET VARIABLES ALÉATOIRES DS Exercice Partie A ?? Résolution d'une équation di ?érentielle On considère l'équation di ?érentielle E y ' ' ?? y ' ?? y ?? e ??x o? y est une fonction de la variable x dé ?nie et deux fois déri

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET VARIABLES ALÉATOIRES DS Exercice Partie A ?? Résolution d'une équation di ?érentielle On considère l'équation di ?érentielle E y ' ' ?? y ' ?? y ?? e ??x o? y est une fonction de la variable x dé ?nie et deux fois dérivable sur R y ' la fonction dérivée de y et y ' ' sa fonction dérivée seconde Déterminer les solutions sur R de l'équation di ?érentielle E y ' ' ?? y ' ?? y Soit h la fonction dé ?nie sur R par h x xe ??x Démontrer que la fonction h est une solution particulière de l'équation di ?érentielle E En déduire l'ensemble des solutions de l'équation di ?érentielle E Déterminer la solution de l'équation E qui véri ?e les conditions initiales f et f ' ?? Partie B ?? Étude locale d'une fonction La courbe c ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f dé ?nie sur R par f x x e ??x Tracer la tangente à c au point d'abscisse En déduire graphiquement l'équation de cette tangente a On admet le résultat suivant lim x ? ? x e ??x Calculer limx ? ? f x b En déduire que la courbe c admet une asymptote dont on donnera une équation a Démontrer que pour tout x de R f ' x x e ??x b Résoudre dans R l'inéquation f ' x ? c En déduire le sens de variation de f sur R - - - - - - - Exercice On considère l'équation di ?érentielle E y ' y x e ??x o? l'inconnue y est une fonction de la variable x dé ?nie et dérivable sur R et o? y ' est la fonction dérivée de y Résoudre l'équation di ?érentielle E y ' y Véri ?er que la fonction g dé ?nie sur R par g x x x e ??x est une solution particulière de E Résoudre sur R l'équation di ?érentielle E Déterminer la solution f de cette équation qui véri ?e la condition initiale f C ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET VARIABLES ALÉATOIRES DS Exercice ?? Attention à la rédaction Une entreprise fabrique des barres de combustible pour des centrales électriques Des pastilles de combustible sont introduites dans des gaines qui servent à réaliser ces barres Une gaine est considérée comme conforme pour le diamètre lorsque le diamètre intérieur exprimé en millimètres appartient à l'intervalle On considère un stock important de gaine On note E l'évènement une gaine prélevée au hasard dans le stock n'est pas conforme pour le diamètre intérieur On suppose que P E On prélève au hasard gaines dans le stock pour véri ?cation du diamètre intérieur Le stock est su ?samment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de gaines On considère la variable aléatoire Y qui a tout prélèvement de gaines ainsi dé ?ni associe le nombre de gaines non conformes pour le diamètre intérieur de ce prélèvement Justi ?er