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1 Les techniques d'actualisation Fatiha Regragui Oeuvre publiée sous licence Cr

1 Les techniques d'actualisation Fatiha Regragui Oeuvre publiée sous licence Creative Commons by-nc-nd 3.0 En lecture libre sur Atramenta.net 2 Chapitre1 : L’actualisation des annuités de fin de période 3 Chapitre2 : L’actualisation des annuités de début de période 4 Chapitre 1 : Actualisation des annuités de fin de période I - Définition et formule des annuités de FP : A’ : désigne la valeur actuelle des annuités de FP, définie comme étant la valeur à l’origine précédant ainsi le premier versement a1. Or a’ est la valeur actuelle de la valeur acquise= Van (1+t) –n Van = a (1+t) n-1/t (1+t) –n A’= a 1- (1+t) –n /t TF N° 4 II -Calculs liés à l’actualisation des annuités de FP : -Calcul de la valeur actuelle : Exemple : Vous êtes tenus de régler votre achat à crédit d’une voiture d’occasion en versant 10 000 DHS à la fin de chaque année pendant 3 ans. Quelle est la somme due si le premier versement s’effectue un an après l’achat ? t= 9 % A’= 10 000(1,09) -1 +10 000 (1,09) -2+10 000 (1,09) -3= 10 000 1- (1,09) -3 /0,09 TFN°4 a’= 25 312, 95 -Annuité : Déterminer la valeur de l’annuité à verser pendant 3 ans et estimée 5 à la date 0 à 25 312, 95 DHS. T= 9% A= 25 312,95. t/1-(1+t) -n= 25 312,95. 0,09/1-(1,09) -3 TFN° 5 ou l’inverse de la TFN°4 A= 25 312,95. 0,395055=10 000 DHS Le taux : Quel est le taux appliqué sur un versement de 3 annuités de FP de valeur 10 000 DHS l’une et ayant une valeur initiale de 25 312,95 DHS.  (1+t) -3/t= a’/a= 25 312,95/ 10 000=2,531295 TFN° 4 n= 3 et V= 2,531295 T= 9% La durée : Déterminer la durée nécessaire pour qu’une somme de 25 312,95 DHS puisse être versée sous forme d’annuités de FP de 10 000 DHS chacune. T= 9 % 1- (1,09) –x /0,09= a’/a=2,531295 (1,09) -x = 1- (2,531295. 0, 09)=0,772 1834 x= -log (0,7721834)/log 1,09 x= 3ans Valeur actuelle des versements de FP mais non annuels : Déterminer la valeur actuelle de 5 semestrialités de valeur 3 100 l’une et pour un taux annuel de 11 %. On doit chercher le taux semestriel équivalent au taux annuel de 11 %. Tp= (1,11) ½ -1 TFN° 6 ou MC Tp= 0,0535653 A’= 3100. 1- (1,0535653) -5/ 0,0535653= 13 290,126 TFN°6 tp= 0,05357 a’= 13 289, 954 6 Valeur actuelle des annuités de FP évaluées p période avant l’origine : A’p est la valeur actuelle précédant de p périodes la date d’origine a’. A’p= a’ (1+t) –p A’p= a( 1- (1+t) –n)/t . (1+t) –p TFN° 2 TFN° 4 Utilisation d’une seule table : A’p= a ((1+t) -p – (1+t) – (n+ p) / t) A’p= a (- (1+t) - (n+p)- - (1+t) –p /t)= a ( 1- (1+t) –(n+p) – 1 – (1+t) – p /t) TFN° 4 TFN° 4 Exemple : La valeur actuelle des versements de FP de 2000 DHS versée pendant 2 ans et évaluées 1 an avant la date d’origine. T= 10 %. A’1= 2000 1- (1,1) -2/ 0,1. (1,1) -1= 2000 1,735537. 0,909091= 3155,5221. 7 Chapitre 2 : L’actualisation des annuités de début de période  Valeur actuelle des annuités de DP : C’est la valeur des annuités à la date 0 donc précédant le premier versement. A’= somme a’i= progression géométrique de raison q= (1+t) A’= Van. (1+t)-n = a( 1+t) (1+t) n-1 /t (1+t) –n = a(1+t). 1- (1+t) –n /t a’= a( 1+t) 1- (1+t) –n /t TFN° 4 La valeur actuelle des annuités de DP est la valeur actuelle des annuités de FP capitalisée sur une année. La valeur acquise des annuités de DP est la valeur des annuités de FP capitalisée sur une année. VaDP= Va FP (1+t) A’ DP= a’ FP (1+t) Exemple : Déterminer la valeur actuelle d’une suite d’annuités de DP versées 8 pendant 4 ans de valeur constante 3000 DHS. T= 7 % La première annuité arrive à échéance à la date 0. A’= 3000 (1,07) 1- (1,07) –n / 0,07 TFN° 4 = 3000 (1,07). 3,3873211= 10 872, 947 DHS. II- Autres problèmes liés à l’actualisation :  Echéance moyenne des annuités : Quand une suite d’annuités est substituée par un seul moyen de règlement (Effet de commerce) ou le contraire, on applique le principe d’équivalence. Les valeurs actuelles de ces différents moyens de paiements s’égalisent. Le calcul de l’échéance moyenne des annuités de FP remplacées par un effet de commerce dont la valeur nominale est égale à la somme des annuités. A’1= a’2 A’1= a 1- (1+t) –n /t A’2= V N. (1+t) -x L’échéance moyenne est la date où la valeur actuelle des annuités est égale à la valeur actuelle de l’effet dont la valeur nominale est égale à la somme des annuités versées pendant n périodes sur la base du même taux. A 1- (1+t) –n /t = n a (1+t) –x (1+t) –x = 1- (1+t) –n/ n t (1+t) x= n t/ 1- (1+t) –n x= log n t/ 1- (1+t) –n/ log (1+t) x= log nt/ 1+ (1+t) –n/ log (1+t) On n’a pas besoin de a pour calculer l’échéance moyenne. Exemple : Quelle est l’échéance moyenne de 5 annuités t= 5% (1,05) x= 5. 0,05/1- (1,05) -5 inverse de la TFN° 4 = 5. 1/ 4, 329477= 1,1548739 x= log(1,1548739) /log (1,05)= 2,9 ans 9  La comparaison : –La comparaison d’une suite d’annuités et un règlement unique Exemple : Comparer une série d’annuités de FP de 1200 DHS l’une versées pendant 12 ans et un règlement unique de 60 000 DHS versée à la date 8, t= 9%.  Evaluation à la date 0 (actualisation) A’1= 1200 1- (1,09) -12/0,09 = 1200. 7, 160 725= 8 592,87 A’2= 60 000 (1,09) -8= 30 111,98 La série d’annuités a une valeur plus faible que la valeur des règlements unique a’1< a’2.  Evaluation à la date 12 : Va1= 1200 (1,09) 12- 1/ 0,09= 24 168, 863 Va2= 60 000 (1,09) 4= 84 694,897 Va1<Va2 *Comparaison entre deux séries d’annuités : Comparer les deux séries d’annuités suivantes : La première est formée par 6 annuités de valeur 1450 DHS, versées à partir de la date 2 jusqu’à la date 7. La deuxième est formée par 7 annuités de 5000 DHS, versées à partir de la date 4,5, jusqu’à la date 10. T= 5% *Evaluation à la date la plus faible à l’origine de la première série (actualisation) : a’1= 1450. 1- (1,05) -6/0,05= 7359,75 a’2=5000 1- (1,05) -7/ 0,05 (1,05)-2 = 26 242,045  Evaluation à la date la plus élevée 10 de la deuxième série (capitalisation) Va1= 1450 (1,05) 6 -1/ 0,05 (1,05) 3= 11417,394 Va2= 5000 (1,05) 7- 1/ 0,05= 40710,04 10 La seconde série d’annuités est plus valorisante car a’2> a’1 et Va2 > Va1.  Les différentes applications d’actualisation : L’actualisation et la capitalisation sont appliquées dans les problèmes de comparaison et encore dans le calcul de la rentabilité d’un projet d’investissement, dans le choix d’investissement ou du matériel de production et dans la détermination des annuités d’amortissement.  Calcul du taux de rentabilité d’investissement TRI : Le TRI est le taux d’égalisation de a’ des dépenses à a’ des recettes à une date donnée. Autrement dit c’est le taux de compensation des dépenses réalisées par l’entreprise part les gains générés. Exemple : Un projet d’investissement nécessite des frais préliminaires de 20 000 DHS avant son lancement, des frais de construction de 10 000 DHS à la fin de la première année et de la deuxième année. Les gains réalisés à partir de l’année 1 jusqu’à la 4 ème année s’élèvent à 11 116,627 DHS. Vérifier si le taux de 6% est le TRI de ce projet. A’D= a’R A’ D= 20 000 + 10 000 1- (1,06) -2/ 0,06= 38 333, 927 A’R= 11 116, 627 1- (1,06) -4/ 0,06= 38 520, 287 A’R- a’D≠0 A’R≠ a’D T= 6% n’est pas le TRI exacte T= 6% : a’D= 10 000 1-(1,06) -2/0,06= 18 333,927 A’R= 11 116, 627 1- (1,06) -4/ 0,06= 38 520, 287 T= 7% : a’D= 10 000 1- (1,07) -2 /0,07= 18080,182 A’R= 11 116,627. 1- (1,07) -4/0,07= 37 654,364 11 Par interpolation linéaire : T= 6% d1= 20 186,36 T= x% d2= 20 000 T=7% d3= 19 574,182 0,01 → -612,178 x-0,06 → -186,36 x= 186,36. 0,01/612,178+0,06= 6,3% (TRI du projet) Commentaires : Le TRI est le reflet du seuil de la rentabilité d’investissement. Cependant, il se voit peu fiable par rapport à d’autres critères d’évaluation des projets d’investissement. D’abord il est incapable de classer le projet et on ne peut pas connaître le bon projet du mauvais car les deux présentent le même TRI. Puis pour un projet d’investissement ayant plusieurs TRI, on ne peut pas savoir le TRI convenable.  Problèmes de choix d’investissement ou d’immobilisation : *Choix d’investissement : Le critère appréhendé uploads/Litterature/ fatiha-regragui-les-techniques-dactualisation-atramenta-net.pdf