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Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Année Univ.2016-17 Faculté des Sciences Dh

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Année Univ.2016-17 Faculté des Sciences Dhar El Mehraz SMA-SMI Département de Mathématiques Contrôle d’Algèbre 2 durée: 1h30 Tous les résultats doivent être justifiés . Exercice 1 : (7 points) Soient et les deux permutations.suivantes :  1 2 3 4 5 6 7 8 6 5 4 1 2 3 7 8 et  1 2 3 4 5 6 7 8 8 1 3 6 5 7 4 2 . 1) Donner les supports de et (sans démonstration). 2) Donner ∘et ∘(sans démonstration). 3) Exprimer et sous forme de produits de cycles disjoints (sans démonstration). 4) Qu’ils sont les types de et ? (sans démonstration). 5) Déterminer l’ordre et la signature de chacune des permutations.et . 6) Déterminer l’inverse de et . 7) Calculer 2017 et 1438. Exercice 2 : (5 points) 1) Soit n un entier naturel. Dans l’anneau Z╱nZ, montrer que pour tout entier relatif m, les trois propriétés suivantes sont équivalents : i) m est inversible. ii) m ∧n 1 (c’est à dire m et n sont premiers entre eux). iii) Z╱nZ 〈m(c’est à dire m engendre le groue additif Z╱nZ). 2) 13 est-il inversible dans Z╱20Z? (justifier la réponse). 3) Trouver deux entiers relatifs u et v tels que 13u 20v 1. 4) Déterminer l’inverse de 13 dans Z╱20Z (justifier la réponse). Exercice 3 : (2 points) Déterminer les deux nombres reéls a et b pour le polynôme P aXn bXn−1 1 soit divisible par X2 −1 (n étant un entier naturel quelcoque non nul). Exercice 4 : (6 points) Soient un nombre reél et Ple polynôme à coefficients reél défini par : PX6 −X5 X4 −1X3 X2 −X . 1) Montrer que 1 est une racine de P. 2) Déterminer l’ordre de multiplicité n de la racine 1 de P(suivant les valeurs de ) et le quotient de Ppar X −1n. 3) Factoriser le polynôme X3 2X2 2X 1 dans RX. 4) En déduire la factorisation du polynôme P−1 dans RX. Bon courage uploads/Litterature/ controle-dalg-2-sma-smi-2016-17.pdf