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Algebre 1 1 Cours d ? Algèbre Première Année Licence L ?? S - E N I-A B T i CTABLE DES MATIÈRES Notion de Logique Introduction à la logique mathématique Assertion et prédicat Prédicat Connecteurs logiques Notations Propriétés des connecteurs logiques Quan

Cours d ? Algèbre Première Année Licence L ?? S - E N I-A B T i CTABLE DES MATIÈRES Notion de Logique Introduction à la logique mathématique Assertion et prédicat Prédicat Connecteurs logiques Notations Propriétés des connecteurs logiques Quanti ?cateurs Négation d ? une proposition quanti ?ée Méthode de raisonnement mathématiques Ensembles et Applications Notion d ? ensemble Opération sur les ensembles Propriétés des opérations sur les ensembles Ensemble des parties d ? un ensemble Notion d ? application Applications injectives surjectives bijectives Restriction et prolongement Image directes ou réciproques de parties par une application Relations binaires dans un ensemble Propriétés des relations binaires ii CTABLE DES MATIÈRES Classe d ? équivalence Calcul dans l ? espace vectoriel normé Espaces vectoriels normés Dé ?nitions et exemples Suites et limites Notions de topologie Dé ?nition et règles de calcul Propriétés du calcul vectoriel Le produit scalaire Projection orthogonale Produit vectoriel cross product Interprétation géométrique du produit vectoriel Le produit mixte triple product Interprétation géométrique du produit mixte Loi de composition interne Eléments particuliers Groupes anneaux et corps Groupes Morphismes de groupes Sous-groupes Structure d ? anneau Notion d ? anneau Sous-anneau Anneau intègre Structure de corps Généralités Sous-corps Nombres complexes Dé ?nition Calcul dans C Nombre complexe conjugué iii CTABLE DES MATIÈRES Inverse d ? un nombre complexe quotient dans C Équation ax bx c a ? R a c ? R Plan complexe-Module-Argument Forme trigonométrique Exponentielle complexe Polynômes et fractions rationnelles Polynômes à coe cients dans K R X ou C X Vocabulaire Division euclidienne Racines irréductibilité Quelques résultats utiles Décomposition en fractions irréductibles dans R Fractions rationnelles sur R ou C Dé ?nition Pôle Décomposition en éléments simples Pratique de la décomposition dans C X Pratique de la décomposition dans R X Récapitulatif des méthodes utilisées Exercices Espaces vectoriels n-uplets de n R Interprétation géométrique des n-uplets de n R Opérations sur les n-uplets de n R Structure d ? espace vectoriel sur K Sous-espace vectoriel Caractérisation des s e v Familles de vecteurs Combinaison linéaire Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs Famille libre famille liée - famille génératrice Base dimension iv CTABLE DES MATIÈRES s e v engendré par une famille Rang d ? une famille de vecteurs Somme de deux s e v S e v supplémentaires somme directe Noyau et image d ? un endomorphisme Rang d ? un endomorphisme Applications linéaires Dé ?nitions et exemples Dé ?nitions Conséquence de la dé ?nition Image réciproque d ? un s e v-Noyau d ? une application linéaire Image directe d ? un s e v-Image d ? une application linéaire Projecteur et Symétrie Application linéaire en dimension ?nie Rang d ? une application linéaire Caractérisation des isomorphismes Matrice d ? une application linéaire Exercices v CCHAPITRE NOTION DE LOGIQUE Introduction à la logique mathématique Les axiomes supposés vrais a priori sont les bases de toute théorie mathématique à partir desquels se déduisent d ? autres résultats mathématiques Dé ?nition ? Proposition un résultat mathématique