Planche no 30. Matrices : corrigé Exercice no 1 1) Soit X =   2 −3 5  . MX

Planche no 30. Matrices : corrigé Exercice no 1 1) Soit X =   2 −3 5  . MX =   2 1 0 −3 −1 1 1 0 −1     2 −3 5  =   1 2 −3  et u(2i −3j + 5k) = i + 2j −3k. 2) Soit X =   x y z  ∈M3,1(R) . MX = 0 ⇔   2 1 0 −3 −1 1 1 0 −1     x y z  =   0 0 0  ⇔    2x + y = 0 −3x −y + z = 0 x −z = 0 ⇔ y = −2x z = x . Donc, Ker(u) = Vect(i−2j+k). En particulier, dim(Ker(u)) = 1 et, d’après le théorème du rang, rg(u) = 2. Or, u(j) = i−j et u(k) = j −k sont deux vecteurs non colinéaires de Im(u) qui est un plan vectoriel et donc Im(u) = Vect(i −j, j −k). On peut noter que i −2j + k = (i −j) −(j −k) ∈Im(u) et donc Ker(u) ⊂Im(u). 3) M2 =   2 1 0 −3 −1 1 1 0 −1     2 1 0 −3 −1 1 1 0 −1  =   1 1 1 −2 −2 −2 1 1 1   et M3 = M2 × M =   1 1 1 −2 −2 −2 1 1 1     2 1 0 −3 −1 1 1 0 −1  = 0. 4) Ker u2 est le plan d’équation x + y + z = 0. Une base de Ker u2 est (i −j, j −k) et donc Ker u2 = Im(u) = Vect(i −j, j −k). D’après le théorème du rang, Imu2 est une droite vectorielle. Mais u3 = 0 s’écrit encore u ◦u2 = 0, et donc Im u2 est contenu dans Ker(u) qui est une droite vectorielle. Donc, Imu2 = Keru = Vect(i −2j + k). 5) (I −M) I + M + M2 = I −M3 = I. Par suite, I −M est inversible à droite et donc inversible et (I −M)−1 = I + M + M2 =   1 0 0 0 1 0 0 0 1  +   2 1 0 −3 −1 1 1 0 −1  +   1 1 1 −2 −2 −2 1 1 1  =   4 2 1 −5 −2 −1 2 1 1  . Exercice no 2 Soient x et y deux réels. A(x)A(y) =  cos x −sin x sin x cos x   cos y −sin y sin y cos y  =  cos x cosy −sin x sin y −(sin x cosy + cos x sin y) sin x cos y + cos x sin y cos x cosy −sin x sin y  =  cos(x + y) −sin(x + y) sin(x + y) cos(x + y)  = A(x + y). En particulier, A(x)A(−x) = A(−x)A(x) = A(0) =  1 0 0 1  = I2, et A(x) est inversible d’inverse A(−x). On a aussi, pour n entier naturel non nul donné : (A(x))n = A(x)A(x)...A(x) = A(x + x... + x) = A(nx), ce qui reste clair pour n = 0 car A(x)0 = I2 = A(0). Enfin, (A(x))−n = (A(x)−1)n = A(−x)n = A(−nx). Finalement, ∀n ∈Z, (A(x))n = A(nx) =  cos(nx) −sin(nx) sin(nx) cos(nx)  . http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. Exercice no 3 1) rg(u) = rg(u(i), u(j), u(k)) = rg(u(j), u(k), u(i)). La matrice de cette dernière famille dans la base B = (i, j, k) est   1 0 0 0 1 0 −3 3 1  . Cette dernière famille est de rang 3. Donc, rg(u) = 3 et u est bien un automorphisme de R3. Posons i′ = u(i), j′ = u(j) et k′ = u(k) de sorte que u−1(i′) = i, u−1(j′) = j et u−1(k′) = k.    i′ = k j′ = i −3k k′ = j + 3k ⇔    k = i′ i = 3i′ + j′ j = −3i′ + k′ ⇔    u−1(k) = i u−1(i) = 3i + j u−1(j) = −3i + k et A−1 = MatB u−1 =   3 −3 1 1 0 0 0 1 0  . 2) et 3) Posons e1 = xi + yj + zk où (x, y, z) ∈R3. u(e1) = e1 ⇔(u −Id)(e1) = 0 ⇔   −1 1 0 0 −1 1 1 −3 2     x y z  =   0 0 0  ⇔    −x + y = 0 −y + z = 0 x −3y + 2z = 0 ⇔x = y = z. On prend e1 = i + j + k. Posons e2 = xi + yj + zk. u(e2) = e1 + e2 ⇔(u −Id)(e2) = e1 ⇔    −x + y = 1 −y + z = 1 x −3y + 2z = 1 ⇔y = x + 1 et z = x + 2. On prend e2 = j + 2k. Posons e3 = xi + yj + zk. u(e3) = e2 + e3 ⇔(u −Id)(e3) = e2 ⇔    −x + y = 0 −y + z = 1 x −3y + 2z = 2 ⇔y = x et z = x + 1. On prend e3 = k. La matrice de la famille (e1, e2, e3) dans la base (i, j, k) est P =   1 0 0 1 1 0 1 2 1  . Cette matrice est de rang 3 et est donc inversible. Par suite (e1, e2, e3) est une base de R3. Enfin,    e1 = i + j + k e2 = j + 2k e3 = k ⇔    k = e3 j = e2 −2e3 i = e1 −e2 + e3 , et P−1 =   1 0 0 −1 1 0 1 −2 1  . 4) Soit T est la matrice de u dans la base (e1, e2, e3). T =   1 1 0 0 1 1 0 0 1  . Les formules de changement de bases s’écrivent T = P−1AP ou encore A = PTP−1. Par suite, pour tout relatif n, An = PT nP−1. Posons N =   0 1 0 0 0 1 0 0 0  . On a N2 =   0 0 1 0 0 0 0 0 0  puis N3 = 0. Donc, pour n entier naturel supérieur ou égal à 2 donné, puisque I et N commutent, la formule du binôme de Newton fournit http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. T n = (I + N)n = I + nN + n(n −1) 2 N2 =   1 n n(n −1)/2 0 1 n 0 0 1  . Cette formule reste vraie pour n = 0 et n = 1. Pour n = −1, (I + N)(I −N + N2) = I + N3 = I et donc T −1 = (I + N)−1 = I −N + N2 =   1 −1 1 0 1 −1 0 0 1  =    1 −1 (−1)(−1 −1) 2 0 1 −1 0 0 1   , et la formule reste vraie pour n = −1. Enfin, pour n entier naturel non nul donné, T −n =  I + nN + n(n −1) 2 N2 −1 mais  I + nN + n(n −1) 2 N2   I −nN + −n(−n −1) 2 N2  = I et donc T −n = I −nN + −n(−n −1) 2 N2. Finalement, ∀n ∈Z, T n = I + nN + n(n −1) 2 N2 =   1 n n(n −1)/2 0 1 n 0 0 1  . Puis An = PT nP−1 =   1 0 0 1 1 0 1 2 1     1 n n(n −1)/2 0 1 n 0 0 1     1 0 0 −1 1 0 1 −2 1   =   1 n n(n −1)/2 1 n + 1 n(n + 1)/2 1 n + 2 (n + 1)(n + 2)/2     1 0 0 −1 1 0 1 −2 1   =   (n −1)(n −2)/2 −n(n −2) n(n −1)/2 n(n −1)/2 −(n −1)(n + 1) n(n + 1)/2 n(n + 1)/2 −n(n + 2) (n + 1)(n + 2)/2   ce qui fournit un(i), un(j) et un(k). Exercice no 4 1) Pour P élément de Rn[X], uploads/Litterature/ 30-matrices-corrige.pdf

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