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RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUP

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITÉ MENTOURI - CONSTANTINE FACULTÉ DES SCIENCES DE L'INGÉNIEUR DÉPARTEMENT DE GÉNIE MÉCANIQUE Mémoire : Présenté en vu d’obtention du Diplôme de Magister en Génie Mécanique Option : Mécanique appliquée en engineering THÈME : THÈME : THÈME : THÈME : OPTIMIS OPTIMIS OPTIMIS OPTIMISATION DE ATION DE ATION DE ATION DES S S S STRUCTURES MÉCANIQUES STRUCTURES MÉCANIQUES STRUCTURES MÉCANIQUES STRUCTURES MÉCANIQUES Forme optimale d’un composant Forme optimale d’un composant Forme optimale d’un composant Forme optimale d’un composant Par : KHALFI Mehdi Soutenu le : 08/07/2009. Devant les membres de jury : • Président Mr. MILI Fayçal Prof. Université Mentouri Constantine • Rapporteur Mr. CHOUITER Yacine M.C. Université Mentouri Constantine • Examinateurs Mr. BENISAAD Smail M.C. Université Mentouri Constantine Mme. LABED Zohra M.C. Université Mentouri Constantine Juillet 2009 N° d’ordre : 266 / MAG / 2009 Série : 011 / GM / 2009 i AVANT PROPOS Ce mémoire est le résultat d'un travail qui a pu naître et se dérouler grâce à la confiance que mon encadreur, Mr. Chouiter Yacine a eue en moi. Je tiens à lui remercier vivement pour son appui et ses conseils donnés tout le long de ce travail, pour sa compréhension et sa patience, et pour son soutien constant tout au long de ce mémoire. Je remercie Mr. Mili Fayçal qui m'a fait l'honneur d’avoir accepté de présider le jury. Mes remerciements s'adressent également à Mr. Benisaad Smail et Mme. Labed Zohra qui m'ont fait l'honneur d'accepter d'être examinateurs de ce travail. Je leur exprime, ainsi qu'à Mr. Mili ma profonde gratitude pour leurs commentaires sur mon mémoire. J’adresse ma reconnaissance également à Mr. Boughouas Hamlaoui pour ses précieux conseils ainsi que pour son encouragement. Mes remerciements s'adressent aussi à Mr. Benchaker Yacine, Mr. Djilali et Mr. Nacer pour leur aide considérable dans différents sujets. Je dédie ce mémoire à mes chers parents qui ont toujours été à mes côtés avec leur soutien et leurs encouragements. Il est aussi dédié à mes frères, ma sœur et son époux, ma famille, ainsi qu'à mes amis les plus proches. Khalfi Mehdi, Avril 2009. ii RÉSUMÉ Le mémoire porte sur l'optimisation de la forme de la trochoïde d'un engrenage cylindrique à dentures droites. Il commence par une présentation des techniques d'optimisation de structures mécaniques et plus particulièrement son outil incontournable : le calcul des variations. L'objectif de ce travail est de chercher une forme optimisée de la trochoïde pour laquelle la contrainte maximale due à la flexion au niveau du pied de la dent sera diminuée afin de réduire le risque de rupture par fatigue des dents de l'engrenage. Les calculs sont effectués sur la base d'une formule exprimant la contrainte maximale au niveau de la trochoïde obtenu analytiquement par une étude récente. La trochoïde est considérée de forme semi-circulaire et le rayon optimal pour lequel la contrainte a était le plus bas possible est déterminé. Les résultats montrent qu'on peut aller jusqu'à 14% de réduction de la contrainte maximale. Mots clés : Optimisation de forme, Calcul des variations, Trochoïde, Engrenages à denture droite. iii ABSTRACT Optimization of mechanical structures: optimal shape of a component. This work relates to the trochoid shape optimization of a cylindrical straight teeth gear. It starts with a presentation of the optimization techniques of mechanical structures and more particularly its essential tool: the calculus of variations. The objective of this work is to seek the optimized shape of the trochoid for which the maximum constraint due to the bending on the root of the tooth will be decreased in order to reduce the risk of rupture by tiredness of the gear teeth. Calculations are carried out on the basis of a formula expressing the maximum constraint on the root of the tooth obtained analytically by a recent work. The trochoid is considered of semicircular form and the optimal ray for which the constraint was low as possible as we can is deduced. The results show that we can go up to 14 percent of reduction of the maximum constraint. Key words: Shape optimization, Calculus of variations, Trochoid, Straight teeth gears. iv ﻣﻠﺨﺺ ﺘﺤﺴﻴﻥ ﺍﻝﻤﻨﺸﺌﺎﺕ ﺍﻝﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ : ﺃﺤﺴﻥ ﺸﻜل ﻝﻘﻁﻌﺔ ﻤﺎ . ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻤﺫﻜﺭﺓ ﺘﻬﺘﻡ ﺒ ﺘﺤﺴﻴﻥ ﺸﻜل ﺃﺴﻨﺎﻥ ﺍﻝﻤﺴﻨﻨﺎﺕ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﻨﺎﻥ ﺍﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻭ ﻫﺫﺍ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺠﺫﻭﺭ ﺍﻷﺴﻨﺎﻥ . ﺍﻝﻤﺫﻜﺭﺓ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺘﻘﺩﻴﻡ ﻝﺘﻘﻨﻴﺎﺕ ﺘﺤﺴﻴﻥ ﺍﻝﻤﻨﺸﺌﺎﺕ ﺍﻝﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﻭ ﺨﺼﻭﺼﺎ ﺃﺩﺍﺘﻪ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻭ ﺍﻝﻤﺘﻤﺜﻠﺔ ﻓﻲ ﺤﺴﺎﺏ ﺍ ﻝﺘﻐﻴﺭﺍﺕ . ﺍﻝﻬﺩﻑ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻝﻌﻤل ﻫﻭ ﺍﻝﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺸﻜل ﻤﺤﺴﻥ ﻝﺠﺫﺭ ﺍﻷﺴﻨﺎﻥ ﻝﻠﻤﺴﻨﻨﺎﺕ ﺍﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺍﻷﺴﻨﺎﻥ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻨﺘﺞ ﻋﻥ ﺫﻝﻙ ﺘﺨﻔﻴﺽ ﻝﻘﻴﻤﺔ ﺍﻹﺠﻬﺎﺩ ﺍﻷﻗﺼﻰ ﺍﻝﻨﺎﺘﺞ ﻋﻥ ﺍﻻﻝﺘﻭﺍﺀ ﺒﻐﻴﺔ ﺘﻘﻠﻴﺹ ﺨﻁﺭ ﺇ ﻨﻜﺴﺎﺭ ﺃﺴﻨﺎﻥ ﺍﻝﻤﺴﻨﻥ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻝﺘﻌﺏ . ﺤﺍﻝ ﺴﺎﺒﺎﺕ ﺘﻤﺕ ﺍﺴﺘﻨﺎﺩﺍ ﺇﻝﻰ ﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﺘﻌﻁﻲ ﺍﻹﺠﻬﺎﺩ ﺍﻷﻗﺼﻰ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺠﺫﺭ ﺍﻷﺴﻨﺎﻥ ﺘﻡ ﺍﻝﺤﺼﻭل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺎ ﻤﻥ ﺨﻼل ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺩﻴﺜﺔ . ﺘﻡ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻝﺠﺫﺭ ﺫﻭ ﺸﻜل ﻨﺼﻑ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﺜﻡ ﻗﻤﻨﺎ ﺒﺘﺤﺩﻴﺩ ﻨﺼﻑ ﺍﻝﻘﻁﺭ ﺍﻝﺫﻱ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻪ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻹﺠﻬﺎﺩ ﻓﻲ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﺩﻨﻰ . ﺍﻝﻨﺘﺎﺌﺞ ﺘﺒﻴﻥ ﺃﻨﻨﺎ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺘﻘﻠﻴﺹ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻹﺠﻬﺎﺩ ﺍﻷﻗﺼﻰ ﺇﻝﻰ ﺤﺩﻭﺩ 14 .% ﺍﻝﻜﻠﻤﺎﺕ ﺍﻝﻤﻔﺘﺎﺤﻴﺔ ﺘﺤ : ﺴﻴﻥ ﺍﻝﻤﻨﺸﺌﺎﺕ ﺍﻝﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ , ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻝﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍ , ﻝﻤﺴﻨﻨﺎﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﻨﺎﻥ ﺍﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ . Table des matières v TABLE DES MATIÈRES AVANT PROPOS ..............................................................................................................................i RÉSUMÉ .......................................................................................................................................ii INTRODUCTION GÉNÉRALE.............................................................................................1 Chapitre I INTRODUCTION À L’OPTIMISATION I.1. Historique.....................................................................................................................5 I.2. Généralités ...................................................................................................................5 I.3. Types d’optimisation ...................................................................................................6 I.3.1. Optimisation paramétrique......................................................................................6 I.3.2. Optimisation géométrique.......................................................................................8 I.3.3. Optimisation topologique......................................................................................10 I.4. Ingrédients d'un problème d'optimisation..................................................................11 I.4.1. Modélisation .........................................................................................................11 I.4.2. Critères d’optimisation..........................................................................................12 I.4.3. L'ensemble de formes admissibles........................................................................14 I.5. Processus d’optimisation ...........................................................................................14 I.6. Applications...............................................................................................................16 Chapitre II CALCUL DES VARIATIONS II.1. Introduction................................................................................................................19 II.2. Fonctionnelle .............................................................................................................20 II.2.1. Définition ..............................................................................................................20 II.2.2. Résultats concernant les fonctionnelles ................................................................21 II.3. Problèmes types du calcul des variations...................................................................22 II.3.1. Problème de Lagrange ..........................................................................................23 II.3.2. Problème de Bolza ................................................................................................23 II.3.3. Problème de Mayer...............................................................................................23 II.4. Première et second variations ....................................................................................23 Table des matières vi II.5. Équation d'Euler-Lagrange ........................................................................................25 II.5.1. Multiplicateurs de Lagrange .................................................................................25 II.5.2. Équation d'Euler-Lagrange ...................................................................................27 II.5.3. Cas particuliers......................................................................................................28 II.6. Quelques exemples ....................................................................................................29 II.6.1. Principe de la moindre action de Hamilton...........................................................29 II.6.2. Problème de la brachistochrone............................................................................29 II.7. Problème d'optimisation à limites variables ..............................................................30 Chapitre III FORMULATION DU PROBLÈME III.1. Introduction................................................................................................................35 III.2. But de l'étude .............................................................................................................36 III.3. Bibliographie .............................................................................................................36 III.4. La dent d'engrenage ...................................................................................................42 III.4.1. Géométrie..............................................................................................................42 III.4.2. Résistance à la flexion ..........................................................................................43 III.5. Hypothèses et contraintes ..........................................................................................46 III.5.1. Intérêt des profils en développante de cercle........................................................46 III.5.2. Symétrie des dents ................................................................................................46 III.5.3. Profil de la trochoïde.............................................................................................46 III.6. Détermination de la contrainte en fonction du rayon.................................................47 III.7. Condition de résistance..............................................................................................50 Chapitre IV CALCULS, RÉSULTATS ET DISCUSSIONS IV.1. Introduction................................................................................................................53 IV.2. Calcul du rayon optimum ..........................................................................................54 IV.2.1 L'algorithme..........................................................................................................54 IV.2.2. Le rayon optimum.................................................................................................55 IV.3. La différence entre les profils des engrenages...........................................................55 IV.4. Analyse des contraintes .............................................................................................56 IV.5. Résultats et discussions..............................................................................................57 IV.6. Conclusion .................................................................................................................60 Table des matières vii CONCLUSION GÉNÉRALE................................................................................................62 ANNEXES A. Rayon du congé au niveau du pied de la dent............................................................65 B. Coefficient de forme de Lewis Y...............................................................................66 C. Coefficient de forme de l'AGMA .............................................................................66 D. Facteur dynamique.....................................................................................................67 E. Facteur de surcharge ..................................................................................................67 F. Facteur de taille..........................................................................................................68 G. Facteur de distribution de la charge...........................................................................68 H. Profil en développante de cercle................................................................................68 RÉFÉRENCES.............................................................................................................................70 I IN NT TR RO OD DU UC CT TI IO ON N G GÉ ÉN NÉ ÉR RA AL LE E Introduction 1 INTRODUCTION INTRODUCTION INTRODUCTION INTRODUCTION GÉNÉRALE GÉNÉRALE GÉNÉRALE GÉNÉRALE La perception du calcul numérique par les industriels a évolué très fortement ces dernières décennies. En effet, il y a seulement une quinzaine d’années, les calculs par éléments finis étaient le plus souvent dédiés à la vérification d’hypothèses concernant le comportement d’une structure à partir d’une conception donnée ou bien comme moyen d’expertise en cas de problème. De plus, ces simulations étaient le plus souvent réalisées dans un cadre élastique et en petites déformations. Le développement des méthodes de calcul (éléments finis, techniques de résolution et de discrétisation) associé à l’efficacité croissante des moyens informatiques permettent à l’aide d’investissements relativement modestes de simuler le comportement de structures industrielles dans des conditions générales de sollicitations ou de déformation. De plus, ces outils constituent maintenant un moyen efficace de conception en s’appuyant sur des procédures d’optimisation et évitent la réalisation de conceptions ou de maquettes intermédiaires toujours très coûteuses. D’autre part, le fait de concevoir et de réaliser n'est plus une "fin en soi" d'un point de vue industriel. À une concurrence très ardue entre industriels, il faut faire face, également, à des contraintes de fiabilité et d'esthétique où tout producteur de composants ou d’ensembles mécaniques de nos jours fait face à une question omniprésente : Quel est le meilleur produit possible à obtenir ? Introduction 2 Par "meilleur", on entend non seulement le moindre coût mais aussi, "le plus résistant", "le plus léger", "le plus durable". C'est à ces questions que l'optimisation des structures mécaniques doit apporter les réponses adéquates. Dans le présent travail, on abordera, en premier lieu, tous ce qui concerne l’optimisation de structures mécaniques à savoir son historique, ses types, outils, techniques, etc.…, en donnant plus d’intérêt à la théorie mathématique du calcul des variances qui représente l'outil incontournable à utiliser en optimisation de structures mécaniques. Deux chapitres seront consacrés à ce qui à était dit ci-dessus : uploads/Ingenierie_Lourd/ optimisation-dents-engrenages.pdf