EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof I. Smith EXERCICE 12 -

EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof I. Smith EXERCICE 12 -Corrigé- CORRIGE N°12 : a) Matrice des masses : 1600 0 0 800 M t ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ b) Afin de déterminer les vecteurs propres, il faut résoudre l’équation ( ) 2 , 0 n i i K M A ω − = pour chaque pulsation propre. Les pulsations propres s’obtiennent en calculant le déterminant suivant : 2 7 2 2 3 16 1600 5 6 5,67 10 det( ) det 5 2 80 7 3 n n n w K w M w 0 ⎡ ⎤ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⎢ ⎥ − = ⎢ ⎥ − − ⋅ ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ On obtient ainsi : ,1 28,58 n rad w s = et ,2 147,25 n rad w s = Calcul du premier vecteur propre : 2 3 ,1 27493 9000 10 9000 2946 n K M ω ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ − = ⋅ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ On choisit de normaliser la déformée modale du niveau 2 : A21 = 1 Puis, on détermine la déformée modale du niveau 1 : 27493 A11 – 9000 = 0 Æ A11 = 0,3273 1 0,3273 1 T A ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ En utilisant ce procédé pour le second vecteur propre, on trouve A . 0,33 1 1 0,6 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 5 Page 1/2 Page 2/2 Cours de Dynamique des structures Prof I. Smith EXERCICE 12 -Corrigé- EPFL IMAC-IS-ENAC c) Matrice de masse généralisée : * 971,46 0 0 1942,9 T M A M A t ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Matrice de rigidité généralisée : 3 * 6 793,9 10 0 0 42,128 10 T kN K A K A m ⎡ ⎤ ⋅ = = ⎢ ⎥ ⋅ ⎣ ⎦ d) Soit 1 (0) 2 x ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ , l’amplitude de la déformée se calcule comme suit : 1 1 1 1 1600 0 1 0,33 1 0 800 2 (0) 2,19 1600 0 0,33 0,33 1 0 800 1 T T M x z M a a a ⎡ ⎤⎡⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥ ⎣ ⎦ ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎢⎥ ⎣ ⎦⎣⎦ = = = ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⋅ ⋅ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 2 2 2 2 1600 0 1 1 0,65 0 800 2 (0) 0,28 1600 0 1 1 0,65 0 800 0,65 T T M x z M a a a ⎡ ⎤⎡⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢⎥ − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥ ⎣ ⎦ ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎢⎥ ⎣ ⎦⎣⎦ = = = ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⋅ ⋅ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ e) Soit 1 (0) 2 x ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ et les conditions initiales 1(0) 0 z =  et 2(0) 5 z =  . La réponse de la structure est donnée par : 1 (0) ( ) (0)cos sin N n i n n n n z x t z w t w t in w a = ⎛ ⎛ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟ = + ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ ∑  n ⎞⎞ ⎠⎠ ici i = 1,2 1 2 ( ) 0,33 1 5 2,19 cos28,58 0,28 cos147,25 sin147,25 ( ) 1 0,65 147,25 x t t t x t ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ t t 0,72 0,28 cos28,58 cos147,25 0,034 sin147,25 2,19 0,182 t t ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + + ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ uploads/Ingenierie_Lourd/ exercice-12cor 1 .pdf

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Ingénierie matrice déformée imac-is-enac cours dynamique
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