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[ Baccalauréat S Amérique du Nord 28 mai 2019 \ Durée : 4 heures Exercice 1 5 p

[ Baccalauréat S Amérique du Nord 28 mai 2019 \ Durée : 4 heures Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats Dans cet exercice et sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à 10−3. Une usine fabrique des tubes. Partie A Les questions 1. et 2. sont indépendantes. On s’intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2. 1. Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre 1,35 millimètre et 1,65 millimètre. a. On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé au hasard dans la production d’une journée, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance 1,5 et d’écart-type 0,07. On prélève au hasard un tube de type 1 dans la production de la journée. Calculer la pro- babilité que le tube soit accepté au contrôle. b. L’entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes de type 1. Pour cela, on modiﬁe le réglage des machines produisant ces tubes. On note X1 la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé dans la production issue de la machine modiﬁée, associe son épaisseur. On suppose que la variable aléatoire X1 suit une loi normale d’espérance 1,5 et d’écart-type σ1. Un tube de type 1 est prélevé au hasard dans la production issue de la machine modiﬁée. Déterminer une valeur approchée à 10−3 près de σ1 pour que la probabilité que ce tube soit accepté au contrôle soit égale à 0,98. (On pourra utiliser la variable aléatoire Z déﬁnie par Z = X1 −1,5 σ1 qui suit la loi normale centrée réduite.) 2. Une machine produit des tubes de type 2. Un tube de type 2 est dit « conforme pour la lon- gueur» lorsque celle-ci, en millimètres, appartient à l’intervalle [298 ; 302]. Le cahier des charges établit que, dans la production de tubes de type 2, une proportion de 2 % de tubes non « conformes pour la longueur » est acceptable. On souhaite décider si la machine de production doit être révisée. Pour cela, on prélève au hasard dans la production de tubes de type 2 un échantillon de 250 tubes dans lequel 10 tubes se révèlent être non « conformes pour la longueur ». a. Donner un intervalle de ﬂuctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des tubes non « conformes pour la longueur » dans un échantillon de 250 tubes. b. Décide-t-on de réviser la machine? Justiﬁer la réponse. Partie B Des erreurs de réglage dans la chaine de production peuvent affecter l’épaisseur ou la longueur des tubes de type 2. Une étude menée sur la production a permis de constater que : Terminale S A. P. M. E. P. — 96 % des tubes de type 2 ont une épaisseur conforme; — parmi les tubes de type 2 qui ont une épaisseur conforme, 95 % ont une longueur conforme; — 3,6 % des tubes de type 2 ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme. On choisit un tube de type 2 au hasard dans la production et on considère les événements : — E : « l’épaisseur du tube est conforme »; — L : « la longueur du tube est conforme ». On modélise l’expérience aléatoire par un arbre pondéré : E L L E L L ... ... ... ... ... ... 1. Recopier et compléter entièrement cet arbre. 2. Montrer que la probabilité de l’événement L est égale à 0,948. Exercice 2 4 points Commun à tous les candidats Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ³ O ; − → u ; − → v ´ . Dans ce qui suit, z désigne un nombre complexe. Pour chacune des afﬁrmations ci-dessous, indiquer sur la copie si elle est vraie ou si elle est fausse. Justiﬁer. Toute réponse non justiﬁée ne rapporte aucun point. Afﬁrmation 1 : L’équation z −i = i(z +1) a pour solution p 2ei π 4 . Afﬁrmation 2 : Pour tout réel x ∈ i −π 2 ; π 2 h , le nombre complexe 1+e2ix admet pour forme ex- ponentielle 2cosxe−ix. Afﬁrmation 3 : Un point M d’afﬁxe z tel que ¯ ¯z −i ¯ ¯ = ¯ ¯z + 1 ¯ ¯ appartient à la droite d’équation y = −x. Afﬁrmation 4 : L’équation z5 + z −i+1 = 0 admet une solution réelle. Exercice 3 6 points Commun à tous les candidats Partie A : établir une inégalité Sur l’intervalle [0 ; +∞[, on déﬁnit la fonction f par f (x) = x −ln(x +1). 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[. 2. En déduire que pour tout x ∈[0 ; +∞[, ln(x +1) ⩽x. Partie B : application à l’étude d’une suite On pose u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = un −ln(1+un). On admet que la suite de terme général un est bien déﬁnie. Amérique du Nord 2 28 mai 2019 Terminale S A. P. M. E. P. 1. Calculer une valeur approchée à 10−3 près de u2. 2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un ⩾0. b. Démontrer que la suite (un) est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel n, un ⩽1. c. Montrer que la suite (un) est convergente. 3. On note ℓla limite de la suite (un) et on admet que ℓ= f (ℓ), où f est la fonction déﬁnie dans la partie A. En déduire la valeur de ℓ. 4. a. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel p donné, permet de déterminer le plus petit rang N à partir duquel tous les termes de la suite (un) sont inférieurs à 10−p. b. Déterminer le plus petit entier naturel n à partir duquel tous les termes de la suite (un) sont inférieurs à 10−15. 1 Exercice 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité On relie les centres de chaque face d’un cube ABCDEFGH pour former un solide IJKLMN comme sur la ﬁgure ci-dessous. A B C D E F G H I J N L M K Plus précisément, les points I, J, K, L, M et N sont les centres respectifs des faces carrées ABCD, BCGF , CDHG, ADHE, ABFE et EFGH (donc les milieux des diagonales de ces carrés). 1. Sans utiliser de repère (et donc de coordonnées) dans le raisonnement mené, justiﬁer que les droites (IN) et (ML) sont orthogonales. 1. La plupart des calculatrices et même des tableurs sont incapables de traiter cette question donnant même des résultats faux. Elle peut être sautée. Amérique du Nord 3 28 mai 2019 Terminale S A. P. M. E. P. Dans la suite, on considère le repère orthonormé ³ A ; − − → AB ; − − → AD ; − → AE ´ dans lequel, par exemple, le point N a pour coordonnées µ1 2 ; 1 2 ; 1 ¶ . 2. a. Donner les coordonnées des vecteurs − − → NC et − − → ML. b. En déduire que les droites (NC) et (ML) sont orthogonales. c. Déduire des questions précédentes une équation cartésienne du plan (NCI). 3. a. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (NJM) est : x −y + z = 1. b. La droite (DF) est-elle perpendiculaire au plan (NJM)? Justiﬁer. c. Montrer que l’intersection des plans (NJM) et (NCI) est une droite dont on donnera un point et un vecteur directeur. Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux points de la ﬁgure. Exercice 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Deux matrices colonnes µx y ¶ et µx′ y′ ¶ à coefﬁcients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si ½ x ≡x′ [5] y ≡y′ [5] . Deux matrices carrées d’ordre 2 µa c b d ¶ et µa′ c′ b′ d′ ¶ à coefﬁcients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si        a ≡a′ [5] b ≡b′ [5] c ≡c′ [5] d ≡d′ [5] . Alice et Bob veulent s’échanger des messages en utilisant la procédure décrite ci-dessous. — Ils choisissent une matrice M carrée d’ordre 2, à coefﬁcients entiers. — Leur message initial est écrit en lettres majus- cules sans accent. — Chaque lettre de ce message est remplacée par une matrice colonne µx y ¶ déduite du tableau ci- contre : x est le chiffre situé en haut de la co- lonne et y est le chiffre situé à la gauche de la ligne; par exemple, la lettre T d’un message ini- tial correspond à la matrice colonne µ4 3 ¶ . — On calcule une nouvelle matrice µx′ y′ ¶ en multi- pliant µx y ¶ à gauche par la matrice M : µx′ y′ ¶ = M µx y ¶ . — On calcule uploads/Industriel/ s-amerique-nord-28-05-2019-tikz-2-pdf.pdf