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ANNEXE A RAPPELS D’ALGÈBRE LINÉAIRE Les mathématiques utilisées en économétrie

ANNEXE A RAPPELS D’ALGÈBRE LINÉAIRE Les mathématiques utilisées en économétrie sont simples. Il sufﬁt de bien connaître certaines règles de calcul matriciel. Nous les rappelons dans cette annexe sans commentaire ni démonstration. Le lecteur désireux de compléter ses connaissances en la matière peut se reporter utilement à Dixmier (1977) ou à Michel (1989). On désigne les matrices par des lettres majuscules et les vecteurs par des lettres minuscules. A (m,n) est une matrice à m lignes et n colonnes composée d’éléments aij. La matrice A est associée à une application linéaire d’un espace vectoriel V1 de dimension n vers un espace vectoriel V2 de dimension m. Soit le vecteur x (n,1) ∈V1. Son image y par l’application linéaire correspondant à A est un vecteur y ∈V2 déﬁni par : y (m,1) = Ax. On note A′ (n,m) la transposée de A. Rangées dans le même ordre, les n lignes de A′ sont les n colonnes de A. A symétrique ⇔A′ = A Pour un vecteur x (n,1), on note pareillement x′ (1,n) son transposé. Le produit de deux matrices A et B n’est déﬁni que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le produit matriciel correspond à la composition des applications linéaires associées. On a : A (m,n) B (n,p) = C (m,p) 473 www.scholarvox.com:ENCG Tanger:27698816:10208896:41.142.42.251:1515704800 INTRODUCTION À L’ÉCONOMÉTRIE Propriété (AB)′ = B′A′ On note In (n,n) la matrice identité de format (n, n). On a : A (m,n) In (n,n) = A (m,n) = Im (m,m) A (m,n) Soit A (n,n) une matrice carrée régulière. Une telle matrice correspond à une application linéaire bijective. On note A (n,n) −1 son inverse, qui correspond à l’application linéaire réciproque. Elle est déﬁnie par : AA−1 = A−1A = In Propriétés sur l’inverse d’une matrice Si A et B sont deux matrices régulières, on a : (A−1)′ = (A′)−1 (AB)−1 = B−1A−1 Propriétés sur le rang d’une matrice Le rang de A (m,n), noté Rg(A), est égal au nombre de colonnes de A qui sont linéairement indépendantes. Le rang de A est égal à la dimension de l’image, dans V2, de l’application linéaire correspondant à A. Rg ( A (m,n)) ≤inf(m, n) Rg(AB) ≤inf (Rg(A),Rg(B)) Rg(A) = Rg(A′) = Rg(AA′) = Rg(A′A) Rg(A + B) ≤Rg(A) + Rg(B) Si B et C sont régulières, Rg(AB) = Rg(CA) = Rg(A). Propriétés sur le déterminant d’une matrice Soit |A| le déterminant de la matrice carrée A (n,n). On a les propriétés suivantes : A (n,n) régulière ⇔Rg(A) = n ⇔|A| ̸= 0 |A| = A′ 474 www.scholarvox.com:ENCG Tanger:27698816:10208896:41.142.42.251:1515704800 RAPPELS D’ALGÈBRE LINÉAIRE |AB| = |A| |B| = |BA| |αA| = αn |A| , où α est un scalaire Si A est régulière, A−1 = |A|−1 . Si A est une matrice triangulaire supérieure, son déterminant est égal au produit des éléments de sa diagonale principale. Propriétés sur la trace d’une matrice La trace de la matrice carrée A (n,n) est notée tr(A). Par déﬁnition, elle est égale à la somme des éléments de la diagonale principale de A. On a les propriétés suivantes : tr(A) = tr(A′) tr(A + B) = tr(A) + tr(B) tr(λA) = λ tr(A), où λ est un scalaire. Sous réserve que les produits matriciels considérés soient déﬁnis, on a : tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA) (̸= tr(BAC)) Soit E l’opérateur linéaire « espérance mathématique » et X une matrice dont les éléments sont des variables aléatoires. On a : tr (E(X)) = E (tr(X)) Propriétés des matrices orthogonales Soient deux vecteurs x1 (n,1) et x2 (n,1) . Ils sont orthogonaux si x′ 1x2 = x′ 2x1 = 0. Une matrice A (n,n) est orthogonale si elle est formée de vecteurs xi (n,1) orthogonaux entre eux et tels que x′ ixi = 1 ∀i = 1, . . . , n. A orthogonale ⇔A−1 = A′ ⇔AA′ = A′A = I A orthogonale ⇒|A| = ±1 A et B orthogonales ⇒AB est orthogonale Vecteurs propres, valeurs propres, diagonalisation Soit A une matrice carrée de format (n, n). x (n,1) est un vecteur propre de A s’il est non nul et si Ax = λx, où λ est un scalaire. Pour que le système d’équations (A −λI) x = 0 ait une solution autre que x = 0 (n,1), il faut que |A −λI| = 0. 475 www.scholarvox.com:ENCG Tanger:27698816:10208896:41.142.42.251:1515704800 INTRODUCTION À L’ÉCONOMÉTRIE |A −λI| est un polynôme de degré n qui peut admettre n racines, distinctes ou non. On note λ1, λ2, . . . , λn les valeurs propres de A , et x1, x2, . . . , xn les vecteurs propres correspondants. Si Rg(A) = r, A possède r valeurs propres non nulles. Les vecteurs propres correspondant à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Si A possède n valeurs propres distinctes λ1, λ2, . . . , λn, on peut écrire A sous la forme A = XDX′, où D est la matrice diagonale formée des valeurs propres de A. X est la matrice orthogonale formée des vecteurs propres normés (tels que x′ ixi = 1) associés à ces valeurs propres. On a donc aussi X′AX = D. Les matrices symétriques sont diagonalisables. Propriétés des matrices diagonalisables Soit A = XDX′. On a : |A| = produit des valeurs propres de A tr(A) = somme des valeurs propres de A Ap = XDpX′ Propriétés des matrices déﬁnies (semi-) positives Soit une matrice symétrique A (n,n). A déﬁnie positive ⇔x′Ax > 0 ∀ x (n,1) ̸= 0 A déﬁnie semi-positive ⇔x′Ax ≥0 ∀ x (n,1) ̸= 0 On a les propriétés suivantes. A déﬁnie positive ⇔toutes les valeurs propres de A sont strictement supérieures à 0. A déﬁnie semi-positive ⇔toutes les valeurs propres de A sont supérieures ou égales à 0. Une matrice déﬁnie positive est régulière. A déﬁnie positive ⇔A−1 déﬁnie positive. A déﬁnie positive ⇒B′AB déﬁnie positive pour B (n,p) de rang p. A déﬁnie semi-positive ⇒ B′AB déﬁnie semi-positive pour B (n,p) de rang quelconque. Si B (n,p) est de rang p, B′B (p,p) est déﬁnie positive. Si B (n,p) est de rang quelconque, B′B (p,p) est déﬁnie semi-positive. 476 www.scholarvox.com:ENCG Tanger:27698816:10208896:41.142.42.251:1515704800 RAPPELS D’ALGÈBRE LINÉAIRE En conséquence, pour une matrice X (n,p) de rang p, X′X (p,p) est déﬁnie positive, mais XX (n,n) ′ est déﬁnie semi-positive. A déﬁnie (semi-)positive ⇒tout élément de sa diagonale principale est strictement supérieur à 0 (supérieur ou égal à 0). A déﬁnie (semi-)positive ⇒il existe au moins une matrice B déﬁnie (semi-)positive telle que A = BB′ = B2. On écrit B = A 1 2 . Si B−A est déﬁnie (semi-)positive et si A est déﬁnie positive, B est déﬁnie positive. Si A et B sont déﬁnies positives : B −A est déﬁnie (semi-)positive ⇔A−1 −B−1 est déﬁnie (semi-)positive. Propriétés des matrices idempotentes Les matrices idempotentes représentent des applications linéaires particulièrement importantes en économétrie : les projections. Les matrices idempotentes de format (n, n) représentent des projections dans Rn. Les matrices idempotentes symétriques de format (n, n) représentent des projections orthogonales dans Rn. A est idempotente ⇔A2 = A On a les propriétés suivantes. A idempotente ⇒les valeurs propres de A sont égales à 0 ou 1. A idempotente ⇒Rg(A) = tr(A). A idempotente et régulière ⇒A = I. A idempotente et C matrice orthogonale ⇒C′AC est idempotente. A idempotente et symétrique ⇒A est déﬁnie semi-positive. A idempotente (symétrique) ⇒I −A idempotente (symétrique) et A(I −A) = (I −A)A = 0. Théorème de Cochran Soient A1, A2, . . . , Am des matrices symétriques de même format. La vériﬁcation de deux propriétés parmi les propriétés (a), (b) et (c) impliquent que toutes les propriétés (a), (b), (c) et (d) sont vériﬁées : (a) A1, A2, . . . , Am sont idempotentes (b) A1 + A2 + . . . + Am est idempotente (c) AiAj = 0 ∀i ̸= j (d) Rg(A1 + A2 + . . . + Am) = Rg(A1) + Rg(A2) + . . . + Rg(Am) Soit X (n,k) la matrice constituée par k vecteurs de Rn linéairement indépendants : x1 (n,1) , x2 (n,1) , . . . , xk (n,1) . Soit L(X) le sous-espace vectoriel de Rn engendré par les vecteurs de X. La matrice de projection orthogonale sur L(X) est déﬁnie par PX = X(X′X)−1X′. On a Rg(PX) = k. La matrice de projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel de Rn orthogonal à L(X) est déﬁnie par MX = In −PX. On a Rg(MX) = n −k. 477 www.scholarvox.com:ENCG Tanger:27698816:10208896:41.142.42.251:1515704800 uploads/Industriel/ rappels-d-x27-algebre-lineaire.pdf