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Utilisation des chaînes de MARKOV Fiabilité des Systèmes Industriels Notes de c

Utilisation des chaînes de MARKOV Fiabilité des Systèmes Industriels Notes de cours I. KHEMILI / 2019 29 4. UTLISATION DES CHAÎNES DE MARKOV 4.1 Exemple introductif Sur une machine à café on a fait des statistiques. On a relevé : - Le nombre de pannes sur un mois. - Les probabilités de passage de l’état de fonctionnement à l’état de panne et de l’état de panne à l’état de fonctionnement.  Si au jour j la machine est en fonctionnement : à j+1 :    panne en est machine la 25 fonctionne machine la 75 % % .  Si au jour j la machine est en panne : à j+1 :    réparée est machine la 50 panne en reste machine la 50 % % . 4.1.1 Représentation par un graphe de transition Soit E1 l’état de marche et E2 l’état de panne. 4.1.2 Représentation par une matrice de transition Jour j+1 E1 E2 Jour j E1 P11 = 0,75 P12 = 0,25 E2 P21 = 0,5 P22 = 0,5 Soit  t i : probabilité d’état en fonction du temps. C’est la probabilité de se trouver dans l’état i à l’instant t. Or la probabilité d’être dans l’état E1 au jour j+1 est égale à : E1 E2 P12 = 0,25 P21 = 0,5 P12 = 0,5 P11 = 0,75 Utilisation des chaînes de MARKOV Fiabilité des Systèmes Industriels Notes de cours I. KHEMILI / 2019 30         . . 1 2 2 1 1 1 E à E de transition de proba. j à E dans être d' proba. E à E de transition de proba. j à E dans être d' proba.  21 2 11 1 1 1 P P j j j       . Nous pouvons donc écrire : 22 0 2 12 0 1 1 2 21 0 2 11 0 1 1 1 P P P P           . Soit ) ; ( 2 1 t t t    le vecteur de probabilité d’état à l’instant t.              22 21 12 11 1 2 1 1 2 1 ). ; ( ) ; ( P P P P j j j j j      . Deux cas se présentent :  1er cas : à 0  t la machine fonctionne  ) 0 ; 1 ( ) ; ( 0 2 0 1 0      . Jour 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 E1 1 0,75 0,6875 0,6718 0,6679 0,66699 0,66678 0,66668 0,66667 0,6666  2/3 E2 0 0,25 0,3125 0,3282 0,3321 0,33301 0,33322 0,33332 0,33333 0,3333  1/3  1er cas : à 0  t la machine est en panne  ) ; 0 ( ) ; ( 0 2 0 1 0 1      . Jour 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 E1 1 0, 5 0,625 0,6562 0,6640 0,6665 0,666628 …… …… 0,6666  2/3 E2 0 0, 5 0,375 0,3438 0,3360 0,3335 0,333372 …… …… 0,3333  1/3 On remarque qu’après avoir fonctionné pendant longtemps, la probabilité de trouver la machine en service se stabilise en une valeur égale à 2/3, c’est la disponibilité de cette machine. On peut facilement retrouver cette valeur de la disponibilité en appliquant la formule :      ) ( A . Or  = 0,25 pannes par jour,  = 0,5 réparation par jour.  3 2 5 , 0 25 , 0 5 , 0 ) (          A . Donc la machine est disponible deux jours sur trois. Utilisation des chaînes de MARKOV Fiabilité des Systèmes Industriels Notes de cours I. KHEMILI / 2019 31 À priori ce type de calcul parait bien fastidieux si nous devons calculer un grand nombre de valeurs avant d’atteindre l’infinie. En réalité nous allons voir que l’utilisation des chaînes de MARKOV nous permettra d’avoir un calcul tout à fait simple. De plus nous pouvons l’étendre au cas où nous aurons la possibilité d’un nombre d’états supérieur à deux. 4.2 Processus stochastique et chaînes de MARKOV 4.2.1 Définition On appelle processus stochastique, une famille de variables aléatoires. Notre variable X évoluera dans ce que nous appellerons l’espace des états, en fonction du temps t. on s’intéresse au cas où le temps est discret et l’espace des états est discret. Ce processus est caractérisé par : - le nombre d’états (fini ou infini). - Les intervalles t, ou étapes. - La probabilité Pij de passage d’un état Xi à un état Xj au cours de t. Un processus stochastique sera une chaîne de MARKOV si : - Le temps est discret. - L’espace d’états est discret et est fini. - Les probabilités de transition sont stationnaires dans le temps ( cte P ij  ). - On connaît un vecteur de probabilité initial :   0 0 1 0 ,... m     , donnant la probabilité d’être dans chacun des m états au temps t. État m 1 2 3 i j t ij P Utilisation des chaînes de MARKOV Fiabilité des Systèmes Industriels Notes de cours I. KHEMILI / 2019 32 4.2.2 Représentation d’une chaîne de MARKOV 4.2.2.1 Matrice de transition État à t+1 État à t E1 E2 E3 E4 E1               0 1 0 0 0 2 / 1 0 2 / 1 4 / 3 4 / 1 0 0 3 / 1 0 2 / 1 6 / 1 E2 E3 E4 4.2.2.2 Graphe de transition 4.2.3 Matrice stochastique Une matrice de transition est une matrice stochastique, c'est-à-dire caractérisée par :            j i Pij j i Pij , 1 , 1 0 Une propriété importante des matrices stochastiques est : le produit de deux matrices stochastiques est une matrice stochastique. 4.2.4 Probabilité de transition d’un état i à un état j en n étapes  Transition en 2 étapes : Comme il est montré dans la figure ci-après, l’étape intermédiaire à t+1 peut se faire en n’importe lequel des états Ek (k = 1…m). La probabilité de transition de i à j en 2 étapes que nous désignerons par : ) 2 ( ij P prendra donc en compte toutes ces possibilités d’état intermédiaire, donc : mj im j i j i ij P P P P P P P . ......... . . 2 2 1 1 ) 2 (     d’où :    m k kj ik ij P P P 1 ) 2 ( . E1 E2 E4 E3 1/2 1/4 1/3 1 1/2 3/4 1/2 1/6 Utilisation des chaînes de MARKOV Fiabilité des Systèmes Industriels Notes de cours I. KHEMILI / 2019 33 Nous observons clairement que cette probabilité est l’élément ij de la matrice produit : 2 ij P .  Transition en un nombre d’étapes n quelconque : Par récurrence, nous obtenons immédiatement : - Proba de transition en 3 étapes = ) 3 ( ij P = l’élément ij de la matrice  ij P élevée au cube. - …………. - …………. - Proba de transition en n étapes = ) (n ij P = l’élément ij de la matrice n ij P . 4.2.5 Vecteur d’état et probabilité de transition Comme l’on a déjà mentionné le vecteur d’état est le vecteur dont les éléments sont les m probabilités d’être dans chacun des m états à un instant donné. Nous avons déjà établi une relation très importante qui exprime le vecteur d’état à l’instant j+1 en fonction du vecteur d’état à l’instant précédent j :  ij j j P    1 Si nous connaissons le vecteur d’état initial à l’instant t = 0, nous pouvons facilement déduire le vecteur d’état, une transition plus tard :  ij P 0 1   De même, nous pouvons écrire :   2 0 1 2 ij ij P P      Et d’une manière générale :  n ij n P 0    Nous verrons que nous utiliserons beaucoup cette très importante relation. t État m 1 2 3 i j t+1 t+2 Utilisation des chaînes de MARKOV Fiabilité des Systèmes Industriels Notes de cours I. KHEMILI / 2019 34 Remarque : Ceci correspond tout à fait au calcul que nous avions fait dans l’exemple de la machine à café où nous avions seulement deux états et donc une matrice de transition de dimension 2x2. Les multiplications successives de notre vecteur d’état par cette matrice nous avaient permis de déterminer les probabilités uploads/Industriel/ chap-4.pdf