Université Montpellier 2 2012–2013 Aide Mémoire Cet aide mémoire ne constitue p

Université Montpellier 2 2012–2013 Aide Mémoire Cet aide mémoire ne constitue pas un cours, mais un simple formulaire, non exhaustif, des outils pouvant être utiles lors d’une approche statistique. Pour da- vantage de détails, veuillez vous reporter à l’une des références données en cours. 1 Quelques notations Il s’agit de préciser ici le sens de quelques symboles utilisés en cours. 1.1 Le symbole somme P Le symbole somme, noté P, est une notation mathématique qui permet de désigner la somme d’une famille finie de termes {xi}i∈{1,...,n} tout en évitant l’uti- lisation de points de suspension : n X i=1 xi = x1 + x2 + . . . + xn. L’indice de sommation i permet d’indiquer que la somme ne porte que sur les éléments indexés par i, i.e tout terme non indexé par i est considéré comme constant par rapport à la somme. Le symbole somme bénéficie des mêmes propriétés de commutativité et d’as- sociativité que l’addition. Exemple 1. La somme 2 + 4 + 6 + 8 + 10 peut s’écrire 5 X i=1 2i Exemple 2. Soit {ai}i∈{1,...,n} et {bi}i∈{1,...,n} deux familles finies. n X i=1 (ai + bi) = n X i=1 ai + n X i=1 bi. La distributivité du produit par rapport à l’addition est également conservée. Exemple 3. Soit {ai}i∈{1,...,n} une famille finie. n X i=1 2ai = 2 n X i=1 ai. ©Julien Stoehr 1 Université Montpellier 2 2012–2013 1.2 Le symbole produit Q La définition du symbole produit est analogue à celle du symbole somme. Le symbole produit, noté Q, est une notation mathématique qui permet de désigner le produit d’une famille finie de termes {xi}i∈{1,...,n} tout en évitant l’utilisation de points de suspension : n Y i=1 xi = x1 × x2 × . . . × xn. Ce symbole bénéficie des mêmes propriétés de commutativité et d’associativité que le produit. Exemple 4. Le produit 1 × 2 × 3 × 4 peut s’écrire 4 Y i=1 i Exemple 5. Soit {ai}i∈{1,...,n} et {bi}i∈{1,...,n} deux familles finies. n Y i=1 aibi = n Y i=1 ai n Y i=1 bi. 1.3 Pour bien comprendre Exercice 1. Calculer les sommes suivantes. 1. n X i=1 2 2. n X i=1 i, dans les cas où n = 5 et n = 74. 3. n X i=1 1 2 i . Quid lorsque n →∞? 4. n X k=1 (4k + 5) 5. Soit {xi}i∈{1,...,n} une famille d’entiers tel que n X i=1 2xi = 3n. Trouver la valeur de la somme suivante n X i=1 (xi + 1). Exercice 2. Calculer les produits suivants. 1. n Y i=1 2 ©Julien Stoehr 2 Université Montpellier 2 2012–2013 2. Soit {xi}i∈{1,...,n} une famille d’entiers tel que n Y i=1 xi = n2. Que vaut le produit suivant lorsque n = 10 : n Y i=1 4xi. 2 Exponentielle et logarithme L’exponentielle et le logarithme sont des fonctions de base qui interviennent fréquemment en probabilité et statistique. Il est dont important de connaître les propriétés fondamentales de ces dernières. Soit {xi}i∈{1,...,n} une famille finie. On alors : exp n X i=1 xi ! = n Y i=1 exp (xi) ln n Y i=1 xi ! = n X i=1 ln (xi) . Exemple 6. De ces propriétés, on déduit facilement les résultats suivant : 1 exp (x) = exp (−x) , x ∈R ln 1 x  = −ln (x) , x ∈R∗ +. Pour n ∈N exp (nx) = exp (x)n , x ∈R ln (xn) = n ln (x) , x ∈R∗ +. 2.1 Pour bien comprendre Exercice 3. On choisit x0 tel que exp(x0) = 2. Calculer exp {2x0 −ln(3)} . Exercice 4. On choisit x0 tel que ln(x0) = 12. Calculer ln {x0 exp(2)} . ©Julien Stoehr 3 Université Montpellier 2 2012–2013 Exercice 5. Soit {xi}i∈{1,...,n} une famille d’entiers tel que exp(xi) =  1 2 i. En utilisant les fonctions exponentielle et logarithme, calculer n X i=1 (2xi + 3). Exercice 6. Soit {xi}i∈{1,...,n} une famille d’entiers tel que ln(xi) = i. En utilisant les fonctions exponentielle et logarithme, calculer n Y i=1 (2xi). 3 Dérivation Cette section présente les propriétés essentielles de la dérivation ainsi que quelques dérivées usuelles. Proposition 3.1. Soient f et g deux fonctions dérivables. 1. La dérivé est d’une somme est égale à la somme des dérivées. (f + g)′(t) = f ′(t) + g′(t). 2. La dérivée d’un produit est donnée par : (fg)′(t) = f ′(t)g(t) + f(t)g′(t). 3. Si f(t) ̸= 0, alors la dérivée d’un quotient s’écrit : g f !′ (t) = g′(t)f(t) −g(t)f ′(t) (f(t))2 . 4. La dérivée de la composée s’écrit : f ◦g(t) = f (g(t)) = f ′ (g(t)) · g′(t). Voici quelques dérivées usuelles. ©Julien Stoehr 4 Université Montpellier 2 2012–2013 Fonction Dérivée Ensemble de dérivation f : x →ax + b a x ∈R f : x →xn nxn−1 x ∈R f : x →1 x −1 x2 x ∈R −{0} f : x →exp(x) exp(x) x ∈R f : x →ln(x) 1 x x ∈]0, ∞[ f : x →√x 1 2√x x ∈]0, ∞[ f : x →cos x −sin(x) x ∈R f : x →sin x cos(x) x ∈R f : x →tan x 1 + tan2(x) = 1 cos2(x) x ∈  −π 2 + kπ, π 2 + kπ  , k ∈Z. 3.1 Pour bien comprendre Exercice 7. Soit {xi}i∈{1,...,n} une famille d’entiers. 1. Calculer la dérivée par rapport à θ de n X i=1 (θxi + 5)2. 2. Calculer la dérivée par rapport à θ de n Y i=1 exp (θxi + 5) . 3. Calculer la dérivée par rapport à θ de ln ( n Y i=1 (θxi + 5θ2) ) . ©Julien Stoehr 5 Université Montpellier 2 2012–2013 4. Calculer la dérivée par rapport à x de 2x + 3 4x + 5. 5. Calculer la dérivé par rapport à x de exp  −1 2(x −2)2  . 6. Calculer la dérivée par rapport à θ de n X i=1 ( ln(θ) + 4(θ2 −5)xi + exp(θ −xi) + θn −2 xi + 1 ) . 4 Intégration Cette section présente quelques résultats pratiques en intégration. Proposition 4.1. L’intégrale est linéaire, i.e pour des fonctions continues f et g, des réels a et b de leur intervalle de définition, et une constante c : Z b a cf(x) + g(x)dx = c Z b a f(x)dx + Z b a g(x).dx. Voici à présent quelques primitives usuelles. La primitive F de la fonction f désigne R f, autrement dit F ′(x) = f(x). Ainsi R b a f(x)dx = F(b)−F(a). Autrement dit : R b a f ′(x)dx = f(b) −f(a). Fonction Primitive F(x) f : x →xn 1 n + 1xn+1 f : x →1 x2 −1 x f : x →exp(x) exp(x) f : x →1 x ln(|x|) ©Julien Stoehr 6 Université Montpellier 2 2012–2013 Fonction Primitive F(x) f : x → 1 √x 2√x f : x →cos x sin(x) f : x →sin x −cos(x) f : x →1 + tan2(x) = 1 cos2(x) tan(x) Proposition 4.2 (Intégration par parties). L’intégration par parties est une mé- thode qui permet d’écrire l’intégrale d’un produit de fonctions à l’aide d’autres intégrales plus faciles à calculer. Soient f et g deux fonctions dérivables, de déri- vées continues. Soient a et b deux réels appartenant à leur ensemble de définition. La formule d’intégration par partie s’écrit : Z b a f(x)g′(x)dx = [f(x)g(x)]b a − Z b a f ′(x)g(x)dx = f(b)g(b) −f(a)g(a) − Z b a f ′(x)g(x)dx. Exemple 7. On présente ici un exemple classique de calcul d’intégrale par inté- gration par parties. On cherche à calculer Z b a x exp(x)dx. On pose f(x) = x et g′(x) = exp(x). On en déduit : 1. f ′(x) = 1. 2. Une primitive de exp(x) est exp(x), i.e g(x) = exp(x). La formule d’intégration par parties s’écrit : Z b a x exp(x)dx = [x exp(x)]b a − Z b a exp(x)dx = [x exp(x)]b a −[exp(x)]b a = b exp(b) −a exp(a) −(exp(b) −exp(a)) . ©Julien Stoehr 7 Université Montpellier 2 2012–2013 Proposition 4.3. Soient f et g deux fonctions dérivables, de dérivées continues. Soient a et b deux réels appartenant à leur ensemble de définition. La dernière formule utile : Z b a f ′(x)g′ (f(x)) dx = [g(f(x))]b a . Exemple 8. On souhaite calculer Z b a 2x exp  x2 + 4  . On pose f(x) = x2 + 4 et g(x) = exp(x). En utilisant le tableau des dérivées et des primitives usuelles, on déduit f ′(x) = 2x et G(x) = exp(x). Par suite Z b a 2x exp  x2 + 4  = h exp  x2 + 4 ib a . 4.1 Pour bien comprendre Exercice 8. Soit {xi}i∈{1,...,n} une famille d’entiers. 1. Calculer Z 5 0 n X i=1 (θxi + 5)dθ. 2. Calculer Z 5 0 n uploads/Industriel/ aide-memoire-rappels-pdf.pdf

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