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Calcul vectoriel page 1 / 3 Calcul vectoriel.doc Calcul vectoriel 1. Objets mat

Calcul vectoriel page 1 / 3 Calcul vectoriel.doc Calcul vectoriel 1. Objets mathématiques. 1.1 Scalaire. Un scalaire est un nombre réel qui permet d’exprimer des grandeurs physiques à une dimension, telles que l’intensité, la tension, une distance, la masse, le temps, etc…. Ex : U = 120 V ; I = 2 A ; L = 100 m ; m = 70 kg ; t = 5 s 1.2 Vecteur. Un vecteur est un objet mathématique qui permet de représenter (modéliser) des grandeurs physiques qui sont définies par (dans l’odre) : Une direction Un sens Une norme Exemples : la vitesse, l’accélération, une force, un moment, etc… En pratique : • La direction est définie par un vecteur unitaire • Le sens et la norme sont définies par une valeur algébrique, (grâce à l’orientation du vecteur unitaire). Exemple : → V = v.→ x 2 avec v ∈ ℜ et ||→ x 2|| = 1 Il faut pouvoir définir le vecteur unitaire → x 2 : son orientation est définie par rapport à une basse orthonormé directe de référence, du type (→ x1,→ y1,→ z1), à l’aide d’un maximum de trois rotations (voir cours de paramétrage). Nous utilisons souvent une seule rotation. Conclusion : pour définir le vecteur → V, il faut les éléments suivants. → V = v.→ x 2 avec v ∈ ℜ et α ∈ ℜ (→ x1,→ y1,→ z1) base orthonormé directe de référence (connue) et ||→ x 2|| = 1 Avec ces éléments, les vecteur → V est parfaitement défini. Il est en aucun cas nécessaire d’écrire les coordonnées de → V dans (→ x1,→ y1,→ z1) pour en savoir plus (surtout pas). → x1 → x2 → y1 α → z1 Figure d’angle plane Calcul vectoriel page 2 / 3 Calcul vectoriel.doc 2. Opérations vectorielles. 2.1 Produits scalaire. Le produit scalaire est une application qui prends pour arguments 2 vecteurs et qui renvoie comme résultat un scalaire. Tel que sa valeur algébrique soit égale au produit des normes des deux vecteurs multiplié pas le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs. → u .→ v = ||→ u ||.||→ v ||.cos( ⌃ → u .→ v ) Remarque : le cosinus correspond à une projection orthogonale de l’extrémité d’un vecteur sur l’autre vecteur. En pratique : En S.I., la bonne méthode consiste à ne faire des produits scalaires qu’entre des vecteurs unitaires. Soit la base orthonormée directe (→ x2,→ y2,→ z2) définie par rapport à (→ x1,→ y1,→ z1) par une rotation autour de → z1 selon la figure plane ci- contre. Tous les produits scalaires doivent être calculés à partir de figures planes comme celle ci. 2.2 Produit vectoriel. Le produit vectoriel est une application qui prends pour arguments 2 vecteurs et qui renvoie comme résultat un vecteur. Soit → W = → U ^ → V Caractéristiques du vecteur → W. • Direction : perpendiculaire au deux → U et → V. • Sens : tel que la base (→ U,→ V, → W) soit directe. • Norme : ‖→ W‖ = ‖→ U‖.‖→ V‖.|sin(α)| Choisir le sinus > 0 En pratique : En S.I., la bonne méthode consiste à ne faire des produits vectoriels qu’entre des vecteurs unitaires. Soit la base orthonormée directe (→ x2,→ y2,→ z2) définie par rapport à (→ x1,→ y1,→ z1) par une rotation autour de → z1 selon la figure plane ci- contre. Tous les produits vectoriels doivent être calculés à partir des figures planes comme celle ci. → u → v A B C H → u .→ v = AC.AH → x1 → x2 → y1 → y2 α → z1 = → z2 → U → V → W α = → U,→ V → x1 → x2 → y1 → y2 α → z1 = → z2 Calcul vectoriel page 3 / 3 Calcul vectoriel.doc 2.3 Dérivation d’un vecteur / temps : relation de Bour     d→ U dt 1 =     d→ U dt 2 + → Ω2/1 ^ → U Jacques Edmond Émile Bour • Définition de → Ω2/1 : C’est le vecteur vitesse de rotation du solide 2 par rapport au solide 1 (en rad/s). Il permet de préciser l’axe de rotation de 2/1, son sens de rotation (règle du tire-bouchon/sens direct) et sa vitesse algébrique. • On s’appuie sur les figures planes (voir exemples) • Composition des vecteurs vitesse de rotation : à l’aide de la relation de Boor → Ωn/1 = → Ωn/n-1 + … + → Ω3/2 + → Ω2/1 On montre alors : → Ω2/1 = - → Ω1/2 • Si la position de 2 est définie dans 1 par n rotations autour des directions → zi (voir figures planes) → Ω2/1 = ∑ i = 1 n θi .→ zi 2.4 Remarques. Ne pas : • Écrire systématiquement les coordonnées des vecteurs dans une base de référence. Il est possible qu’un vecteur soit défini à partir de plusieurs vecteurs unitaires issus de bases différentes. • Effectuer un calcul de produit scalaire ou de produit vectoriel sans avoir décomposé les arguments en fonction de vecteurs unitaires. 3. Illustrations. les expressions déterminées à partir des figures planes sont-elles VRAIES ou FAUSSES ? → x2.→ x1 = cosα → x2 = cosα.→ x1 → x1.→ x2 = → y2.→ y1 → x2 = cosα.→ x1 + sinα.→ y1 → y2 ^ → x1 = - cosα.→ z1 Exprimer en fonction de α, β et éventuellement des vecteurs unitaires, les expressions suivantes : → x2.→ x1 → y1.→ z2 → y2.→ x1 → y3.→ y1 → x2 ^ → x1 → y1 ^ → z2 → y2 ^ → x1 → y3 ^ → y1 (a.→ y1 + b.→ x2).(c.→ y3 + d.→ z2) (a.→ y1 + b.→ x2) ^ (c.→ y3 + d.→ z2) → x1 → x2 → y1 → y2 α → z1 = → z2 → y2 → y3 → z2 → z3 β → x2 = → x3 Structure cinématique page 1 / 5 Structure cinématique-2012.doc Structure cinématique 1. Introduction. L’objectif est d’étudier les mécanismes, c.a.d. d’étudier leurs mouvements et les efforts transmis et subis par ces mécanismes. Toutes ces grandeurs dépendent de la structure des mécanismes, et de la manière dont sont assemblées les pièces les unes par rapport aux autres. Il faut donc modéliser les assemblages entre les solides. 2. Graphe des liaisons. Le graphe des liaisons permet de représenter la structure des mécanisme. Il permet d'identifier les différents groupes cinématiques (approximativement les solides) et leurs liaisons cinématiques. L'ensemble forme la chaîne cinématique. Cette représentation est l'outil fondamental à toute étude cinématique et statique. Les groupes cinématiques sont représentés par des ronds. Les traits entres ces ronds schématisent les liaisons (d’où le terme de chaîne de solides). Il est judicieux de placer les groupes en respectant la "structure géographique" du mécanisme. 2.1 Éléments constituant un groupe cinématique. 2.1.1 Groupe cinématique (ou classe d’équivalence, ou ensemble cinématique) Pour clarifier le problème, on considère que toutes les pièces fixes entres elles, appartiennent à la même "même", au même groupe cinématique auquel on donne un nom explicite. Un groupe cinématique est donc constitué d'un ou plusieurs solides fixes les uns par rapport aux autres. 2.1.2 Définition d’un solide. Un solide est un corps qui ne s’adapte pas au contenant. (≠ liquide, gaz, poudre, etc..) • Exemples de solides : brique, gomme, planche, tôle. • Contre-exemples de solides : eau, sucre en poudre, butane. 2.1.3 Modélisation du solide en cinématique, statique et dynamique. On utilisera un modèle de solide indéformable : on considère que pour tous couples de points du solide, la distance entre ces points ne varie pas par rapport au temps. MN =constante / temps. Attention : ceci est un modèle. En toute rigueur un solide n’est jamais indéformable. Les déformations se voient plus ou moins, mais elles existent toujours. Avantages : dans le domaine de validité de ce modèles, les calculs sont très performants tout en restant "simples". Remarque : les ressorts ne peuvent pas être considérés indéformables. Ils ne peuvent donc pas apparaître dans les graphes des liaisons dans la forme de groupe cinématique. M N Structure cinématique page 2 / 5 Structure cinématique-2012.doc 2.1.4 Grandeurs définissant la nature des solides. ► La masse d’un corps. Elle est lié à l’existence de la matière. Elle est fonction de la forme du corps (en particulier de son volume) et de sa masse volumique. Propriété : la masse est conservative : C’est à dire qu’elle ne varie pas au cours du temps. Elle est constante quelque soit l’endroit où se trouve le solide (terre ou lune). Unité (kg ou g), notation (m, M). exemple : m = 10 kg ► Le volume : Lié à la forme du corps. Unité (m3, dm3, l), notation (v, V). exemple : v = 3 l ► La masse volumique. C’est la grandeur qui différentie les différents matériaux qui composent les corps (donc les uploads/Industriel/ 03-1-modelisation-cinematique-etude-geometrique-cours-pdf.pdf