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Transformations de Fourier – Produit de Convolution – Applications PHR 101 1 C.

Transformations de Fourier – Produit de Convolution – Applications PHR 101 1 C. Zerrouki Conservatoire National des Arts et Métiers Service de Physique dans ses rapports avec l'industrie PHR 101 "Principes et outils pour l'analyse et la mesure" Leçon n° 10 Transformations de Fourier Produit de Convolution Applications (Joseph Fourier 1768 – 1830) Transformations de Fourier – Produit de Convolution – Applications PHR 101 2 C. Zerrouki Signification physique de la transformation de Fourier Pour un signal de mesure quelconque, on s'intéresse souvent à son évolution en fonction du temps comme l'indique la figure n°1. Figure 1 : Evolution en fonction du temps du signal issu d'un accéléromètre Cette représentation temporelle fournit de nombreuses informations dont l’exploitation directe peut s’avérer ardue. Une autre représentation du signal, dans le domaine des fréquences par exemple, peut rendre l'interprétation des informations qu'il contient beaucoup plus aisée. A cela, il faut ajouter que de nombreux phénomènes se situent "naturellement" dans le domaine des fréquences et non pas dans le domaine temporel ou spatial. Pour interpréter un signal auditif, le cerveau effectue une analyse dans le domaine des fréquences. Dans un tout autre domaine, la détection d'un défaut de roulement par exemple peut être réalisée par une analyse de son spectre de fréquences. Dernier exemple, l'étude des résonances d'une structure mécanique passe également par une analyse en fréquences. Ces deux représentations (temps et fréquence) sont reliées entre elles par une transformation, dite de Fourier, outil d'une importance capitale dans les techniques d'analyse du signal et dans l'explication de nombreux phénomènes physiques chimiques et biologiques. Considérons un signal électrique y(t) par exemple (tension, intensité du courant, etc...) dépendant du temps ; faire l'analyse de Fourier dans le domaine des fréquences consiste à effectuer sur ce signal y(t) une opération mathématique du "genre" : j t y(t) e dt +∞ −ω −∞ ∫ (0) avec y(t) signal déterministe ou aléatoire temporel Temps [s] Valeur efficace Accélération [u.a] Valeurs crêtes Unité de temps 1s Temps [s] Valeur efficace Accélération [u.a] Valeurs crêtes Unité de temps 1s Transformations de Fourier – Produit de Convolution – Applications PHR 101 3 C. Zerrouki ω pulsation en rd . s −1 liée à la fréquence ν (ω = 2 π ν) On obtiendra, après intégration une fonction Y(ω) qui ne dépendra plus du temps mais de la pulsation ω. Y(ω) est proportionnelle à la transformée de Fourier de y(t). Il est fondamental de bien comprendre que Y(ω) et y(t) sont deux représentations différentes d’une même grandeur physique. Si l'on considère y(t) le point représentatif de l'amplitude de ce signal se déplace dans l'espace amplitudetemps. Si l'on considère Y(ω), le point représentatif se déplace dans l'espace amplitudepulsation (fréquence). Lorsqu'on cherche la valeur Y(ω) pour une valeur de ωo, cela signifie que l'on cherche dans toute l'histoire (et tout le futur) de y(t) ce qui correspond à la fréquence ωo. Ceci correspond à un filtrage infiniment sélectif. Un tel filtrage n'est pas réalisable physiquement. Donc on ne peut pas connaître Y(ω) avec une localisation parfaite sur l'axe des fréquences. De même, si l'on veut retrouver y(t) à partir de Y(ω), il faut connaître le spectre pour toutes les fréquences jusqu'à l'infini (c'est la même opération de filtrage infiniment sélectif qui intervient, les variables temps et fréquence étant permutées). Cela signifie que pour connaître parfaitement la valeur y(t) à un instant t, il faut disposer d'une bande passante infinie. Tout ceci n'est qu'une autre forme de la relation d'incertitude qui exprime l'impossibilité pour l'observateur humain d’appréhender la réalité sans la déformer ou la rendre en quelque sorte " floue". Nous verrons dans la suite l’effet de la largeur de la « fenêtre d’observation » sur le spectre. 1 Décomposition d’un signal en séries de Fourier (cas d’un signal périodique) Rappel : Tout signal (ou fonction) périodique f(x), de la variable x (temps ou distance) de période P peut être représenté(e) par une infinité de fonctions sinusoïdales de périodes P, P/2, P/3, etc. f x a n x P b n x P n n n ( ) cos sin =       +       =−∞ +∞ ∑ 2 2 π π (1.1) Où les coefficients an et bn se déterminent à partir des relations suivantes : Transformations de Fourier – Produit de Convolution – Applications PHR 101 4 C. Zerrouki a P f x n x P dx n P = ∫ 2 2 ( )cos( / ) π (1.2) et b P f x n x P dx n P = ∫ 2 2 ( )sin( / ) π (1.3) La fonction ) (x f peut ainsi être définie à partir des coefficients n a et n b . Exemple cas d'une fonction créneaux g(x) (figure 11) de période P : 0 +1 1 P g(x) x Figure 11. Exemple de fonction périodique. La fonction g(x) étant périodique, elle peut se décomposer en séries de Fourier :       +       = ∑ +∞ −∞ = P x n b P x n a x g n n n π π 2 sin 2 cos ) ( Les coefficients an et bn sont déterminés en utilisant les relations 1.2 et 1.3 avec, par exemple, comme intervalle d'intégration [P/2 ; +P/2]. /2 / 2 2 2 ( )cos( ) 0 P n P n x a f x dx P p π + − = = ∫ /2 / 2 0 si est pair 2 2 ( )sin( ) 4 si est impair P n P n n x b f x dx n P p n π π + − = = ∫ La fonction g(x) peut donc être représentée par la série suivante : g x x P x P x P ( ) sin sin sin ... =       +       +      +       4 2 1 3 3 2 1 5 5 2 π π π π Transformations de Fourier – Produit de Convolution – Applications PHR 101 5 C. Zerrouki On peut d'ailleurs voir sur la figure 12 la contribution des trois premiers termes à une première représentation grossière de g(x). x x P sin( ) 2π x P sin( ) sin( ) sin( ) 2 1 3 3 2 1 5 5 2 π π π x P x P x P + + Figure 12. Contribution de trois sinusoïdes à la représentation de la fonction créneaux. Sur les figures 13 et 14, on remarque que la représentation des fonctions "créneaux" et "triangle" devient de plus en plus précise en fonction du nombre croissant de sinusoïdes utilisées. 1 0 1 ( ) sin 2π f t 1 0 1 ( ) [ ] 1 3 2 3 sin π f t 1 0 1 ( ) [ ] 1 5 2 5 sin π f t 1 0 1 ( ) [ ] 1 7 2 7 sin π f t 1 0 1 ( ) [ ] 1 9 2 9 sin π f t 1 0 1 1 0 1 ( ) [ ] 1 2 1 2 2 1 0 4 ( ) sin n n f t n + + = ∑ π ( ) [ ] 1 2 1 2 2 1 0 99 ( ) sin n n f t n + + = ∑ π Somme de 5 sinusoïdes : Somme de 100 sinusoïdes : Figure 13. Représentation de la fonction créneaux par un ensemble de sinusoïdes. Transformations de Fourier – Produit de Convolution – Applications PHR 101 6 C. Zerrouki 1 0 1 ( ) [ ] 1 2 2 2 sin π f t ( ) [ ] 1 4 2 4 sin π f t 1 0 1 ( ) [ ] 1 6 2 6 sin π f t 1 0 1 ( ) [ ] 1 8 2 8 sin π f t 1 0 1 ( ) [ ] 1 10 2 10 sin π f t 1 0 1 ( ) [ ] 1 2 2 2 1 5 n n f t n sin π = ∑ ( ) [ ] 1 2 2 2 1 100 n n f t n sin π = ∑ 1 0 1 1 0 1 Somme de 5 sinusoïdes : Somme de 100 sinusoïdes : Figure 14. Représentation de la fonction triangle par un ensemble de sinusoïdes. Remarque : La série de Fourier (relation 1.1) peut être exprimée sous forme complexe : 2 ( ) nx j p n n f x c e π +∞ =−∞ = ∑ (1.4) Où les coefficients cn se déterminent à partir de la relation suivante : 2 1 ( ) n j p n P c f x e dx P π − = ∫ (1.5) Rappelons que la décomposition en séries uploads/Industriel/ 01-l10-phr101-print.pdf