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Thème: SLCI Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Complément mathématique : T

Thème: SLCI Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Complément mathématique : Transformation de Laplace Objectif : Outil qui permet de transformer les équations différentielles en fractions rationnelles. I - Définition de la Transformée de Laplace et conditions d’existence a) Définition Si f(t) désigne une fonction à valeurs réelles ou complexes de la variable réelle t, définie sur le domaine t∈]0,∞[ et nulle pour t<0 ; on appelle Transformée de Laplace de f(t) la fonction F p=Lf t =∫ t=0 ∞ e −pt f t dt où p est complexe ● l’existence de F(p) suppose la convergence de l’intégrale ● on dit que F(p) est " l’image " de f(t) b) Conditions d’existence de F(p) ● f(t) doit être " continue par morceau " (cf cours de math) ● ∃avec 01 tel que lim t∣f t∣0 quand t 0 ● f(t) doit être d’ordre exponentiel (c'est à dire ∃0 tel que lim t∞e −t∣f t ∣=0 ) c) Conséquences Certaines fonctions f(t) ne possèdent pas de transformée de Laplace, par exemple f t=1 t qui ne respecte pas la deuxième condition d’existence ou f t=expt 2 qui ne respecte pas la troisième condition. Remarque importante Inversement, toutes les fonctions F(p) ne sont pas des transformées de Laplace. On montre que, si F(p) est une transformée de Laplace, alors lim Fp0 quand p∞ . Exemple : transformée de Laplace d'une fonction exponentielle f(t) = exp(-at) u(t) Lexp−at ut =∫ t=0 ∞ e −pt e −at utdt=∫ t=0 ∞ e −pat dt=[ −e −pat pa ]0 ∞ = 1 pa II - Propriétés de la Transformée de Laplace On note F p=Lf t la fonction dite " image " de f(t) et f t=L−1F p la fonction dite " original " de F(p). Sous réserve des conditions d’existence, la correspondance f(t) ↔ F(p) est unique. a) Linéarité Théorème : Si F 1p=Lf 1t et F 2p=Lf 2t  alors LAf 1t Bf 2t =AF 1pB F 2p avec A et B deux constantes. Dém : En utilisant la définition de la transformée de Laplace, on obtient : LAf 1t Bf 2t =∫ t=0 ∞ e −pt A f 1tB f 2t dt=A∫ t=0 ∞ e −pt f 1tdtB ∫ t=0 ∞ e −pt f 2tdt=AF 1pB F2p b) Théorème du retard Théorème : Soit une fonction f(t) nulle pour t<0. La fonction f t− est la fonction f(t) décalée de  L f t−=e −pF p Lycée Pasteur 1/4 t f ( t ) f ( t - )  Thème: SLCI Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Dém : Lf t−=∫ t=0 ∞ e −pt f t−dt Comme la fonction est nulle pour t , on a donc : Lf t−=∫ t= ∞ e −pt f t−dt En faisant le changement de variable w=t− , on obtient : Lf t−= ∫ w=0 ∞ e −pwf wdw Soit Lf t−=e −p∫ w=0 ∞ e −pw f wdw=e −pLf t c) Transformée de Laplace de la fonction dérivée Théorème : Si f(t) est continue, alors Lf ' t = p Fp−f 0 + où f 0 +=lim t0 + f t  Dém : Lf ' t =∫ t=0 ∞ e −pt f ' tdt En faisant une intégration par partie, il vient : Lf ' t =[ e −pt f t ]0 + ∞p ∫ t=0 ∞ e −pt f tdt Comme f est d'ordre exponentiel, il existe une valeur de p à partir de laquelle la limite de e−pt f t  est nulle pour t 0 . Il vient alors le résultat. L'expression ci-dessus se généralise aux dérivées " d’ordre n " et, en particulier, si la fonction f(t) et ses dérivées sont continues, on obtient : Lf nt = pn F p−pn−1 f 0+−pn−2 f '0+−...−p f n−20+−f n−10+ Exemple : F p= p p 29 correspond à la transformée de Laplace de f t=cos3t Ainsi la transformée de Laplace de la dérivée de f(t) soit f ' t=−3sin 3t vaut Lf ' t = p p p 29 –1= −9 p 29 On en déduit la transformée de Laplace de sin3t : Lsin3t= 3 p 29 d) Transformée de l’intégrale Théorème : Soit ht=∫ u=0 t f udu . On pose H p=Lht  et F p=Lf p . La transformée de Laplace de h(t) est donnée par H p= F p p Dém : Par définition de h(t), on a h' t = f t Or Lh' t = p H p– h0 +=p H p d'une part et Lh' t Lf t =F p d'autre part, d'où le résultat Lycée Pasteur 2/4 Thème: SLCI Sciences Industrielles pour l'Ingénieur En généralisant, on obtient L∫ u=0 t ∫ u=0 t ... ∫ u=0 t  n fois f udu= F p p n e) Comportements asymptotiques ● Théorème de la valeur initiale : lim t0 f t=lim p∞pFp Dém : Soit I =∫ t=0 ∞ e −pt f ' t dt Si p∞ alors I 0 On a d'autre part I =[ e −pt f t]0 + ∞p∫ t=0 ∞ e −pt f tdt=pF p−f 0 + et on obtient lim t0 f t =lim p∞pFp Exemple : Soit F p= 1 pa , lim t 0+ f t=lim p∞ p pa=1 Rq : l'original de F(p) est en fait exp(-at) qui a bien 1 pour limite en 0 ● Théorème de la valeur finale : lim t∞f t =lim p0 pF p Dém : I =∫ t=0 ∞ e −pt f ' t dt= pF p−f 0 + Si p0 , alors I ∫ t=0 ∞ f ' tdt=lim ∞f t−f 0 + Soit en identifiant terme à terme, il vient le résultat. III - Utilisation de la transformée de Laplace à partir des Tables Dans la pratique, pour un problème donné, on obtient assez facilement l’image F(p), la véritable difficulté se trouve dans la recherche de la fonction f(t) origine. Cette recherche est aidée par l’existence de Tables de correspondances très complètes f(t) ↔ F(p) qui s’utilisent comme un " dictionnaire " mais dont la manipulation demande de l’expérience pour appliquer judicieusement les propriétés de la Transformée de Laplace. A défaut de pouvoir appliquer ces tables, il convient d’avoir recours au théorème d’inversion dont la mise en œuvre se révèle, souvent, lourde. Ce théorème appelé aussi " formule d’inversion de Mellin-Fourier " nécessite le calcul d'une intégrale complexe à l'aide du théorème des Résidus. Tableau des transformées usuelles Lycée Pasteur 3/4 Thème: SLCI Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Remarque : seules quelques transformations doivent être calculées, les autres peuvent être déterminées en utilisant les propriétés de la transformation de Laplace. x(t) X(p) Impulsion de Dirac d(t) 1 Échelon A.u(t) A p at.u t a p 2 e −at .ut  a∈ℂ 1 pa t.e −at .ut a∈ℂ 1 pa 2 t ne−at.ut n∈ℕ,a∈ℂ n! pa n1 t nut  n∈ℕ  n! p n1 sint.ut ∈ℝ  p22 cost.ut  ∈ℝ p p 2 2 e −at .sin t .ut a∈ℂ,∈ℝ  pa 2 2 e −at .cost.ut a∈ℂ,∈ℝ pa pa 2 2 sinhk t .ut  k ∈ℝ k s 2−k 2 coshkt.ut k ∈ℝ s s 2−k 2 Lycée Pasteur 4/4 uploads/Industriel/ complement-transformation-de-laplace.pdf