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R. Hallegatte. Polytech’Marseille. 1 2008/2009 CHAPITRE II DENOMBREMENTS I – Dé

R. Hallegatte. Polytech’Marseille. 1 2008/2009 CHAPITRE II DENOMBREMENTS I – Définitions. Disposons dans un sac, (une urne), n jetons. Ces jetons portent des signes (chiffres, symboles …) qui les rendent tous discernables entre eux. Tirages Prélevons au hasard un jeton dans le sac et notons le résultat. Le tirage peut se poursuivre p fois de deux façons différentes: Tirages avec remise: une fois tiré le jeton est remis dans le sac. Il peut donc sortir à nouveau. La composition du sac n'évolue pas au cours des tirages successifs. On peut alors considérer qu'il est équivalent de tirer successivement un jeton dans p sacs identiques. Remarquons que p peut être supérieur à n. Tirages sans remise: un jeton tiré est exclu des tirages suivants et la composition du sac évolue à chaque tirage. Ici p ≤ n Résultats. Un résultat est l'ensemble de p jetons et il y a deux façons de l'analyser. Résultats ordonnés. On tient compte de l'ordre d'apparition des jetons au cours des tirages successifs. On appelle ces résultats des arrangements. Résultats non ordonnés. On ne tient pas compte de l'ordre d'apparition des jetons mais uniquement de leur présence ou non dans un résultat. On appelle ces résultats des combinaisons. Nous avons donc quatre situations: Avec remise Avec remise Arrangements Combinaisons Sans remise Sans remise 2 II - Arrangements avec remise Tirer p objets, avec remise dans une urne est équivalent à tirer un objet successivement dans p urnes identiques. Résultat du premier tirage: n possibilités Résultat du deuxième tirage n possibilités ……….. Résultat du p ième tirage: n possibilités. Pour n résultats du premier tirage le deuxième engendre n x n tirages différents et ainsi de suite… Au total le nombre de tirages différents est: A = n p n p Ex. Un sac contient 10 jetons numérotés de 0 à 9. On tire avec remise 4 jetons: il y a 104 résultats différents. On tire avec remise 4 lettres de l'alphabet: il y a 264 mots différents. Les arrangements avec remise sont typiques des lancers de dès. On lance 4 fois un dé. Il y a 64 résultats différents. III - Arrangements sans remise Premier tirage: n possibilités Il reste (n-1) jetons R. Hallegatte. Polytech’Marseille. 3 Deuxième tirage (n-1) possibilités Il reste (n-2) jetons …….. …. p ième tirage (n-p+1) possibilités Donc au total n.(n - 1).(n - 2)….(n - p + 1) résultats différents. Cela s'écrit encore 1 )........ 1 p n ).( p n ( 1 )........ 1 p n ).( p n ( . ) 1 p n ......( ) n n .( n − − − − − − + − − Soit finalement: ! ) p n ( ! n Ap n − = Ex. On tire sans remise 4 lettres de l'alphabet. Il y a ! ) 4 26 ( ! 26 − = 358800 mots différents. Différence essentielle entre les résultats des tirages avec ou sans remise: Sans remise: tous les éléments d'un résultat sont discernables entre eux. Un résultat du type ( a, e, b, a ) est impossible. Avec remise: les éléments du résultat ne sont pas obligatoirement discernables et un résultat du type précédent est possible. Cela entraînera une complication dans l'analyse des résultats. IV - Permutations. C'est un arrangement sans remise avec p = n. C'est le nombre de possibilités que l'on a d'ordonner les n jetons du sac. Deux cas sont à envisager: Tous les jetons sont discernables: Le résultat est immédiat. ! n Pn = ! n Pn = Les jetons ne sont pas tous discernables: ils appartiennent à des familles à l'intérieur desquelles ils sont indiscernables. Ex: une urne contenant les jetons (a, a b, c). La famille A contient deux éléments indiscernables. Soit donc une urne contenant n objets appartenant à des familles. La famille A contient α objets indiscernables, B contient β objets…. Rendons discernables les éléments d'une même famille en leur affectant un indice: Famille A: a1, a2,…aα. Famille B: b1, b2,….bβ Tous les éléments de l'urne sont maintenant discernables donc le nombre de permutations de ces objets est n !. Soit une distribution particulière : c1, a3, …….a2, b1. Considérons la famille A. Toutes les permutations des objets de cette famille, les autres conservant leur place, aboutissent à la même disposition lorsque ces α objets deviennent indiscernables. Il y a α ! permutations des objets rendus discernables de cette famille. 4 Il y a donc α ! moins de permutations de tous les objets lorsque ceux de la famille A sont indiscernables soit ! ! n Pn α = α En poursuivant le raisonnement sur les autres familles, on arrive immédiatement au résultat: ! ..... ! ! ! n P ... , , n μ β α = μ β α Exemples: - Combien peut-on former de nombres différents de cinq chiffres en permutant 2, 2, 3, 4, 4. 30 ! 2 ! 2 ! 5 P 2 , 2 5 = = - Combien de mots différents en permutant les lettres du mot : pierre 180 ! 2 ! 2 ! 6 P 2 , 2 6 = = - On dispose de cinq boules noires, trois rouges et 2 blanches. On range ces boules dans 10 tiroirs numérotés à raison d'une boule par tiroir. Combien de dispositions? ! 2 ! 3 ! 5 ! 10 P 2 , 3 , 5 10 = V - Combinaisons sans remise. Un résultat est caractérisé uniquement par la présence ou non des éléments contenus dans l'urne et l'ordre d'apparition n'est pas pris en compte. On appelle souvent ce type de tirage: tirage par poignée. C'est le cas par exemple dans les jeux de cartes où ce qui compte ce sont les cartes présentes dans son jeu et non l'ordre dans lequel on les a reçu. Chaque élément ei du sac ne peut figurer qu'une seule fois dans un résultat et donc tous les éléments d'un résultat particulier sont discernables entre eux. Tirage sans remise de p éléments n éléments p éléments discernables discernables Lorsqu'on fait un arrangement sans remise, on peut considérer que l'on procède en deux étapes: R. Hallegatte. Polytech’Marseille. 5 ! - On choisit d'abord les p boules qui vont figurer dans le résultat, sans tenir compte de l'ordre. Soit le nombre de choix possibles. p n C - Ce choix étant fait, en permutant de toutes les façons possibles les p boules choisies qui sont toutes discernables, on engendre p! listes ordonnées différentes. Donc p . C A p n p n = nbre de listes permutation des de p boules Choix des boules p boules d'où: ! p ! ) p n ( ! n Cp n − = Autre méthode. On écrit sur une ligne la liste des n éléments disponibles. Soit une disposition particulière. Pour la décrire, on écrit 1 en dessous de l'élément ek s'il figure dans le résultat soit zéro dans le cas contraire. e1 e2 … ek … en 1 0 … 1 … 0 Ici, e1 et ek figurent dans le résultat, e2 et en non. On tire p éléments donc la ligne contient p fois 1 et (n - p) fois zéro. Il y a donc autant de distributions qu'il y a de façons différentes d'écrire un mot de n lettres dont p sont indiscernables (les 1) et ( n - p ) également (les zéros). Le nombre de combinaisons sans remise est donc: ! ) p n ( ! p ! n P C ) p n ( , p n p n − = = − Exemples - Un joueur reçoit 8 cartes d'un jeu de 32 cartes. Combien de mains possibles : 8 32 C - 4 joueurs reçoivent respectivement 8 cartes d'un jeu de 32 cartes. Combien de mains possibles. Le premier reçoit 8 cartes sur 32 soit possibilités. Il reste 32-8 = 24 cartes et le deuxième en reçoit 8 soit possibilités. Il reste 16 cartes et le troisième en reçoit 8 soit possibilités. Le quatrième prend ce qui reste. 8 32 C 8 24 C 8 16 C Le nombre de mains différentes est donc: 6 ! 8 ! 8 ! 8 ! 8 ! 32 ! 8 ! 8 ! 16 . ! 16 ! 8 ! 24 . ! 24 ! 8 ! 32 C . C . C . C 8 8 8 16 8 24 8 32 = = VI - Combinaisons avec remise. Puisqu'on tire avec remise, il est équivalent de dire que l'on dispose de p urnes identiques dans lesqu'elles on tire chaque fois un élément. Les deux méthodes proposées pour les combinaisons sans remise ne s'appliquent pas directement: - Choisir d'abord les boules, les permuter pour retrouver reste valable. C'est le calcul des permutations qui se complique. En effet, un résultat particulier n'est plus engendré par des éléments obligatoirement discernables. p n A Par exemple le résultat constitué de p jetons identiques engendre une seule permutation. Il faudrait donc envisager tous les résultats possibles sans uploads/Geographie/chapitre-2-denombrement.pdf