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Chapitre 01 : Méthodes d’étude et description mathématique des phénomènes de tr

Chapitre 01 : Méthodes d’étude et description mathématique des phénomènes de transport Chapitre 01 : Méthodes d’étude et description mathématique des phénomènes de transport 7 Chapitre 01 : Méthodes d’étude et description mathématique des phénomènes de transport 1.1- Le phénomène de transport les phénomènes de transport sont défins comme des processus irréversibles de nature statistique issus du mouvement aléatoire continu de molécules, ce phénomène est principalement observé dans le domines des fluides. Chaque aspect de ces types de phénomènes de transport repose essentielement sur les conceptes des lois de conservation. *- Ces lois de conservation, qui dans le contexte des phénomènes de transport sont formulées sous forme d'équations de continuité, décrivant comment la quantité étudiée (variable) doit être conservée. *- Les équations de quantité de mouvement décrivent comment la quantité en question répond à divers stimuli à travers le transport. Des exemples connus comme la loi de Fourier de conduction thermique et les équations de Navier – Stokes, qui décrivent, respectivement, la réponse du flux thermique aux gradients de température et la relation entre le flux de fluide et les forces appliquées au fluide. *- Ces équations démontrent également la relation entre les phénomènes de transport et la thermodynamique, ce lien qui explique pourquoi ces phénomènes de transport sont irréversibles. Presque tous ces phénomènes physiques impliquent en fin de compte des systèmes recherchant leur état d'énergie. À l'approche de certain état, ils tendent à atteindre un véritable équilibre thermodynamique, au point qu’il n'y aurait plus de forces motrices dans le système en question et le transport cesse. Les différents aspects d'un tel équilibre sont directement liés à un transport spécifique: le transfert de chaleur est la tentative du système à atteindre l'équilibre thermique avec son environnement, tout comme le transport de masse et d'enérgie déplacent le système vers l'équilibre chimique et mécanique. Des exemples de processus de transport comprennent la conduction thermique (transfert d'énergie), l'écoulement de fluide, la diffusion moléculaire (transfert de masse), le rayonnement. Le transport de masse, d'énergie et de quantité de mouvement peut être affecté par la présence de sources externes: La vitesse de refroidissement d'un solide qui dissipe la chaleur dépend de l'application ou non d'une source de chaleur. 8 Chapitre 01 : Méthodes d’étude et description mathématique des phénomènes de transport La force gravitationnelle agissant sur une goutte empeche la résistance ou la traînée conférée par l'air environnant. En ingénierie, physique et chimique, l'étude des phénomènes de transport concerne l'échange de masse, d'énergie, de charge, de moment et de moment angulaire entre les systèmes observés et étudiés. Bien qu'il s'inspire de domaines aussi divers que la mécanique des milieux continus et la thermodynamique, il met fortement l'accent sur les points communs entre les sujets traités. La masse, la quantité de mouvement et le transport de chaleur partagent tous un cadre mathématique très similaire, et les parallèles entre eux sont exploités dans l'étude des phénomènes de transport pour établir des connexions mathématiques profondes qui fournissent souvent des outils très utiles dans l'analyse d'un domaine qui sont directement dérivés des autres. Les phénomènes de transport sont présents dans toutes les disciplines de l'ingénierie. Certains des exemples les plus courants d'analyse des transports en ingénierie sont vus dans les domaines du génie des procédés, chimique, biologique et mécanique, mais le sujet (phénomène de transport) est une composante fondamentale du programme d'études dans toutes les disciplines impliquées de quelque manière que ce soit avec la mécanique des fluides, transfert de chaleur et transfert de masse. Il est maintenant considéré comme faisant partie de la discipline de l'ingénierie autant que la thermodynamique, la mécanique et l'électromagnétisme. Il existe des similitudes notables dans les équations de quantité de mouvement, d'énergie et de transfert de masse qui peuvent toutes être transportées par diffusion, comme l'illustrent les exemples suivants: Masse: la diffusion et la dissipation des odeurs dans l'air est un exemple de diffusion de masse. Énergie: la conduction de la chaleur dans un matériau solide est un exemple de diffusion de chaleur. quantité de mouvement : la traînée subie par une goutte lorsqu'elle tombe dans l'atmosphère est un exemple de diffusion d'impulsion (la goutte de pluie perd son élan par rapport à l'air environnant en raison de contraintes visqueuses et décélère). Les équations de transfert moléculaire de la loi de Newton pour la mécanique des fluides, de la loi de Fourier pour la chaleur et de la loi de Fick pour la masse sont très similaires. On peut passer d'un coefficient de transport à un autre afin de comparer les trois phénomènes de transport différents. 9 Chapitre 01 : Méthodes d’étude et description mathématique des phénomènes de transport Ces phénomène de transport qu’on a évoqué sont tous décrit par un modèle mathématique qu’on essaiera de le détailler par la suite reconu par l’équation de diffusion, dans notre cas c’est l’équation de la chaleur . Cette équation va faire l’objet d’étude. 1.2- Le modèle mathématique Un modèle mathématique est la mise en équation d’un phénomène dans le but de représenter fidèlement le comportement réel du phénomène. Des relations reliant les variables d’entrées aux variables de sorties sont établies. Le modèle est construit selon le but à atteindre par exemple pour analyser le mouvement de la terre autour du soleil, la terre et le soleil sont assimilés à des points matériels avec la loi de comportement correspondante tandis que si on veut étudier le mouvement de la terre par rapport à son axe, le modèle mathématique représente la terre par une sphère avec la loi de comportement donnant le mouvement de rotation de la terre par rapport à son axe. Le succès du modèle dépend de sa facilité d’utilisation et de la précision des résultats prédis par le modèle. Le modèle mathématique n’est pas spécifique aux sciences de l’ingénieur seulement, mais se retrouve dans d’autres domaines comme les sciences naturelles, les sciences sociales, les sciences économiques, etc . . . 1.3 - La formulation mathématique Le module mathématique est formulé par des équations aux dérivés partielles et des conditions aux limites qui garantissent l’unicité de la solution, donc le fonctionnement du système physique. Nous nous intéressons particulièrement aux différentes types d’équations du seconde ordre, à deux variable indépendantes x et y, de la physique mathématique écrites sous la forme générale : A ∂ 2ϕ ∂x 2 + B ∂ 2ϕ ∂x ∂y + C ∂ 2ϕ ∂y 2 + D ∂ϕ ∂x + E ∂ϕ ∂y +Fϕ =G (x, y ) (1.1a) 10 Chapitre 01 : Méthodes d’étude et description mathématique des phénomènes de transport Où ϕ=ϕ( X , y ) est la fonction recherchée, dépendante de x et de y c’est la fonction qui donne le comportement du modèle. A, B, … et F sont les coefficients de l’équation aux dérivées partielles. Ils sont fonction de x et y et peuvent être des constantes. L’équation (1.1a) peut être réécrite sous la forme A ∂ 2ϕ ∂x 2 + B ∂ 2ϕ ∂x ∂y + C ∂ 2ϕ ∂y 2 f(x , y ,ϕ, ∂ϕ ∂x , ∂ϕ ∂y)(1.1b) Selon le signe du déterminant B 2−4 AC on adopte le classent suivant Si B 2−4 AC< 0 l’équation est dite elliptique, Si B 2−4 AC> 0 l’équation est dite hyperbolique, Si B 2−4 AC= 0 l’équation est dite parabolique, Exemple : 1-Equation de la place 2D Soit l’équation de Laplace donné par : ∂ 2ϕ ∂x 2 + ∂ 2ϕ ∂y 2 = 0 On a : A = 1, B = 0, C = 1, d’où B 2−4 AC = -4 <0, 11 Chapitre 01 : Méthodes d’étude et description mathématique des phénomènes de transport l’équation de Laplace est donc elliptique. 2- Equation de conduction soit l’équation de conduction instationnaire de la chaleur : ∂ 2T ∂x 2 =∂T ∂t On a : A = 0, B = 0, C = 1 d’où B 2−4 AC= 0, l’équation est donc parabolique. 3- Equation de vibration Equation de vibration transversale ou équation des ondes : ∂ 2 y ∂t 2 =c 2 ∂ 2 y ∂x 2 L’équation peut s’écrire c 2 ∂ 2 y ∂x 2 −∂ 2 y ∂t 2 =0 on a : A = c 2, B = 0, C = - 1, d’où D’où B 2−4 AC = 4/c 2>0, et l’équation est hyperbolique. 12 Chapitre 01 : Méthodes d’étude et description mathématique des phénomènes de transport 1.4- Classification des problèmes aux limites (PVL) Les problèmes aux limites sont régis par des équations aux dérivées partielles accompagnées de conditions aux limites spécifiques. Selon le type d’équation on obtient le problème aux limites correspondant - Si l’équation est elliptique, le problème est elliptique et on a un problème d’équilibre ou de valeurs aux limites (PVL) - Si l’équation est parabolique, le problème est parabolique et on a un problème de valeurs initiales (PVI) - Si l’équation est hyperbolique, le problème est hyperbolique et on a un problème de valeurs propres (PVP) 1.4.1 -Les problèmes de valeurs aux limites Les équations aux dérivées partielles peuvent être par exemple, les équations bidimensionnelles uploads/Geographie/ chapitre-01.pdf