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1 CAPES DE SCIENCES ECONOMIQUES ET SOCIALES CNED Année universitaire 2014 – 201

1 CAPES DE SCIENCES ECONOMIQUES ET SOCIALES CNED Année universitaire 2014 – 2015 Mathématiques appliquées aux sciences économiques et sociales Christine Dollo, Août 2014 2 Sommaire L’EPREUVE ET LE PROGRAMME ................................................................................................................. 11 EXTRAITS DES TEXTES OFFICIELS (MINISTERE DE L’EDUCATION NATIONALE : WWW.EDUCATION.GOUV.FR, 15 JUILLET 2013) : .......................................................................................................................................................................... 11 VARIATIONS ABSOLUES ET RELATIVES, POURCENTAGES ET INDICES ......................................................... 12 I. VARIATIONS ABSOLUE ET RELATIVE ................................................................................................................... 12 I.1. Variation absolue ............................................................................................................................. 12 I.2. Variation relative ............................................................................................................................. 12 II. POURCENTAGES ........................................................................................................................................... 12 II.1. Pourcentages instantanés ............................................................................................................... 12 II.2. Pourcentage de pourcentage .......................................................................................................... 13 II.3. Pourcentage d’évolution ................................................................................................................. 13 a. Pourcentage d’augmentation ............................................................................................................ 13 b. Pourcentage de diminution ................................................................................................................ 14 c. Coefficient multiplicateur et pourcentage d’évolution ....................................................................... 14 d. Opérations et pourcentages d’évolution ............................................................................................ 15 III. TAUX DE CROISSANCE GLOBAL ET MOYEN ANNUEL ............................................................................................. 17 III.1. Taux de croissance global .............................................................................................................. 17 a. Taux de croissance sur une année ...................................................................................................... 17 b. Taux de croissance global sur n années, à taux constant t% ............................................................. 17 III.2. Taux de croissance moyen annuel.................................................................................................. 18 IV. INDICES..................................................................................................................................................... 18 IV.1. Indices élémentaires ...................................................................................................................... 18 a. Définition ............................................................................................................................................ 18 b. Propriétés ........................................................................................................................................... 18 IV.2. Indices synthétiques ....................................................................................................................... 19 a. Indice de Laspeyres ............................................................................................................................ 19 Indice de Paasche ................................................................................................................................... 21 Indice de Ficher ...................................................................................................................................... 21 V. TABLEAU RECAPITULATIF DES NOTIONS RENCONTREES PRECEDEMMENT .................................................................. 22 VI. ELASTICITES - ARCS ...................................................................................................................................... 22 VI.1. Elasticité - prix de la demande ....................................................................................................... 22 VI.2. Elasticité – revenu .......................................................................................................................... 22 VI.3. Elasticités croisées ......................................................................................................................... 23 STATISTIQUES DESCRIPTIVES .................................................................................................................... 24 I. STATISTIQUES A UNE VARIABLE......................................................................................................................... 24 I.1. Généralités ....................................................................................................................................... 24 I.1.1. Population ..................................................................................................................................... 24 I.1.2. Caractères ..................................................................................................................................... 24 I.1.3. Effectifs ......................................................................................................................................... 24 3 I.1.4. Graphiques .................................................................................................................................... 25 I.1.5. Effectifs cumulés croissants (e.c.c.) ............................................................................................... 26 I.1.6. Effectifs cumulés décroissants (e.c.d.) ........................................................................................... 26 I.1.7. Fréquences .................................................................................................................................... 27 I.2. Caractéristiques de position ............................................................................................................. 27 I.2.1. Mode ............................................................................................................................................. 27 I.2.2. Moyenne ....................................................................................................................................... 28 I.2.3. Médiane ........................................................................................................................................ 30 I.2.4. Quartiles ........................................................................................................................................ 31 I.2.5. Déciles ........................................................................................................................................... 31 I.3. Caractéristiques de dispersion ......................................................................................................... 32 I.3.1. Etendue ......................................................................................................................................... 32 I.3.2. Ecarts interquantiles ..................................................................................................................... 32 I.3.3. Ecart absolu moyen ....................................................................................................................... 32 I.3.4. Variance ........................................................................................................................................ 32 I.3.5. Ecart-type ...................................................................................................................................... 33 I.3.6. Coefficient de variation ................................................................................................................. 34 I.4. Caractéristiques de concentration ................................................................................................... 34 I.4.1. Médiale ......................................................................................................................................... 34 I.4.2. Courbe de concentration (Lorenz) ................................................................................................. 34 I.4.3. Indice de Gini ................................................................................................................................. 35 II. STATISTIQUES A DEUX VARIABLES .................................................................................................................... 37 II.1. Nuage de points ............................................................................................................................. 37 II.2. Ajustement affine ............................................................................................................................ 38 II.2.1. Méthode des points extrêmes ...................................................................................................... 38 II.2.2. Méthode de Mayer (à partir des données précédentes) .............................................................. 38 II.2.3. Méthode des moindres carrés ...................................................................................................... 39 II.3. Ajustements non affines .................................................................................................................. 40 II.3.1. Ajustement exponentiel ............................................................................................................... 40 II.3.2. Ajustement puissance .................................................................................................................. 40 II.4. Séries chronologiques ..................................................................................................................... 41 II.4.1. Généralités ................................................................................................................................... 41 SUITES ET CALCUL FINANCIER ................................................................................................................... 44 I. GENERALITES ............................................................................................................................................... 44 I.1. Définitions ........................................................................................................................................ 44 Modes de définition ............................................................................................................................... 44 I.2. Sens de variation .............................................................................................................................. 44 Définition................................................................................................................................................ 44 Méthode ................................................................................................................................................. 45 I.3. Limite d’une suite ............................................................................................................................. 45 II. SUITES PARTICULIERES ................................................................................................................................... 45 II.1. Suites arithmétiques ....................................................................................................................... 45 Définition................................................................................................................................................ 45 Terme général ........................................................................................................................................ 46 Termes consécutifs ................................................................................................................................. 46 Somme des termes ................................................................................................................................. 46 II.2. Suites géométriques ........................................................................................................................ 47 Définition................................................................................................................................................ 47 Terme général ........................................................................................................................................ 47 4 Termes consécutifs ................................................................................................................................. 47 Somme des termes ................................................................................................................................. 47 Limites d’une suite géométrique ............................................................................................................ 48 II.3. Suites arithmético – géométriques ................................................................................................. 48 Définition................................................................................................................................................ 48 Propriété ................................................................................................................................................ 48 III. CALCUL FINANCIER ...................................................................................................................................... 49 III.1. Intérêts simples .............................................................................................................................. 49 Principe .................................................................................................................................................. 49 Formule de base ..................................................................................................................................... 49 III.2. Intérêts composés .......................................................................................................................... 49 Principe .................................................................................................................................................. 49 Formule de base ..................................................................................................................................... 49 Taux équivalents et taux proportionnels ................................................................................................ 50 Exercices ................................................................................................................................................. 50 Taux effectif ........................................................................................................................................... 50 III.3. Emprunts indivis ............................................................................................................................. 51 Annuités constantes ............................................................................................................................... 51 Taux effectif global (TEG) ....................................................................................................................... 52 Annuités progressives ............................................................................................................................ 52 Remboursement d’un emprunt avec différé .......................................................................................... 53 Remboursement anticipé ....................................................................................................................... 53 Tableau d’amortissement ...................................................................................................................... 54 III.4. Investissements .............................................................................................................................. 56 Principe .................................................................................................................................................. 56 Critères de choix d’investissement ......................................................................................................... 57 MATRICES ET CALCUL MATRICIEL .............................................................................................................. 60 I. DEFINITION, TYPES DE MATRICES, PROPRIETES..................................................................................................... 60 I.1. Définition .......................................................................................................................................... 60 I.2. Transposée d’une matrice ................................................................................................................ 60 I.3. Matrices particulières ...................................................................................................................... 60 I.4. Egalité de deux matrices .................................................................................................................. 61 II. OPERATIONS DE MATRICES ............................................................................................................................. 61 II.1. Somme de deux matrices ............................................................................................................... 61 II.2. Produit d’une matrice par un réel ................................................................................................... 61 II.3. Produit de deux matrices A et B ..................................................................................................... 62 II.3.1. Cas particulier d’une matrice uniligne A et d’une matrice unicolonne B...................................... 62 II.3.2. Cas général ................................................................................................................................... 62 II.3.3. Propriétés ..................................................................................................................................... 63 III. DETERMINANTS ET INVERSION DE MATRICES ..................................................................................................... 64 III.1. Calcul d’un déterminant ................................................................................................................. 64 III.1.1. Matrices d’ordre 1 et 2 ................................................................................................................ 64 III.1.2. Matrices d’ordre 3 ....................................................................................................................... 64 III.2. Inversion de matrice ...................................................................................................................... 65 III.2.1. Définition ..................................................................................................................................... 65 III.2.2. Existence de A – 1 ........................................................................................................................ 65 III.2.3. Calcul de A – 1 ............................................................................................................................... 65 IV. APPLICATION DU CALCUL MATRICIEL A LA RESOLUTION DE SYSTEMES DE CRAMER .................................................... 69 IV.1. Résolution d’un système de Cramer par la méthode des déterminants (méthode de Cramer) ..... 70 5 IV.2. Résolution par la méthode de la matrice inverse........................................................................... 70 IV.3. Sujet de CAPES ............................................................................................................................... 71 V. MATRICES ET GRAPHES ................................................................................................................................. 73 V.1. Définitions ....................................................................................................................................... 73 V.I.1. Graphes probabilistes ................................................................................................................... 73 V.1.2. Matrice de transition ................................................................................................................... 73 V.2. Recherche de l’état stable ............................................................................................................... 74 SYSTEMES ................................................................................................................................................. 75 I. SYSTEMES D’EQUATIONS ................................................................................................................................ 75 I.1. Systèmes à deux équations et deux inconnues ................................................................................ 75 I.1.1. 1er cas : D  0 ................................................................................................................................. 75 I.1.2. 2ème cas : D = 0 .............................................................................................................................. 76 I.2. Systèmes à deux équations et trois inconnues ................................................................................. 76 I.3. Systèmes à trois équations et deux inconnues ................................................................................. 78 I.4. Systèmes à trois équations et trois inconnues ................................................................................. 78 II. SYSTEMES D’INEQUATIONS ET PROGRAMMATION LINEAIRE .................................................................................. 78 III. SUJET DE CAPES ........................................................................................................................................ 81 POLYNOMES ............................................................................................................................................. 83 I. BINOME ..................................................................................................................................................... 83 I.1. Equation du premier degré .............................................................................................................. 83 I.2. Signe d’un binôme ............................................................................................................................ 83 I.3. Inéquation du premier degré ou s’y ramenant ................................................................................ 84 II TRINOMES ................................................................................................................................................... 85 II.1. Equation du second degré ............................................................................................................... 85 II.2. Signe d’un trinôme a x² + b x + c ..................................................................................................... 86 II.3. Inéquation du second degré ............................................................................................................ 87 III. POLYNOMES .............................................................................................................................................. 87 III.1. Définition ........................................................................................................................................ 87 III.2. Factorisation d’un polynôme ......................................................................................................... 88 ETUDE ET REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION..................................................................... 89 INTRODUCTION : PLAN D’ETUDE D’UNE FONCTION ................................................................................................. 89 I. ENSEMBLE DE DEFINITION, PARITE D’UNE FONCTION ............................................................................................ 89 I.1. Ensemble de définition d’une fonction ............................................................................................. 89 I.2. Parité et imparité ............................................................................................................................. 90 I.2.1. Fonction paire ............................................................................................................................... 90 I.2.2. Fonction impaire ........................................................................................................................... 90 I.3. Symétrie ........................................................................................................................................... 91 I.3.1. Axe ................................................................................................................................................ 91 I.3.2. Centre ............................................................................................................................................ 92 II. LIMITES ET CONTINUITE ................................................................................................................................. 93 II.1. Approches de la notion de limite ..................................................................................................... 93 II.1.1. Approche calculatoire .................................................................................................................. 93 II.1.2. Approche graphique ..................................................................................................................... 94 II.2. Définitions sur les limites ................................................................................................................ 95 II.2.1. Limite finie en a ............................................................................................................................ 95 II.2.2. Limite infinie à l’infini ................................................................................................................... 96 II.2.3. Limite finie à l’infini ...................................................................................................................... 96 6 II.2.4. Limite infinie en une valeur a ....................................................................................................... 97 II.3. Continuité ........................................................................................................................................ 97 II.3.1. Définitions et interprétation graphique ....................................................................................... 97 II.3.2. Théorèmes généraux .................................................................................................................... 98 II.4. Opérations sur les limites ................................................................................................................ 98 II.4.1. Somme ......................................................................................................................................... 98 II.4.2. Produit.......................................................................................................................................... 98 II.4.3. Quotient ....................................................................................................................................... 99 II.5. Applications à l’étude de certaines fonctions.................................................................................. 99 II.5.1. Fonctions polynômes .................................................................................................................... 99 II.5.2. Fonctions rationnelles .................................................................................................................. 99 II.5.3. Fonctions irrationnelles .............................................................................................................. 100 II.6. Continuité sur un intervalle ........................................................................................................... 101 II.7. Branches infinies ........................................................................................................................... 102 II.7.1. Cas où f(x) = b (b fini) ....................................................................................................... 102 II.7.2. Cas où lim x  a+f(x) = ±  ou lim x  a–f(x) = ±  ................................................................................. 102 II.7.3. Cas où f(x) = ±  .............................................................................................................. 102 III. DERIVATION ............................................................................................................................................. 103 III.1. Accroissement moyen .................................................................................................................. 103 III.2. Nombre dérivé en a ...................................................................................................................... 103 III.3. Dérivées et opérations ................................................................................................................. 104 III.4. Tangente ...................................................................................................................................... 106 III.4.1. Approche de la notion de tangente ........................................................................................... 106 III.4.2. Définition et équation ............................................................................................................... 106 III.4.3. Cas où f’(a) n’existe pas, mais lim x  a+ f(x) – f(a) x-a = ±  ou lim x  a– f(x) – f(a) x-a = ±  ....................... 107 III.5. Dérivée et sens de variation d’une fonction ................................................................................. 107 III.5.1. Définition du sens de variation d’une fonction ......................................................................... 107 III.5.2. Sens de variation des fonctions usuelles ................................................................................... 107 III.5.3. Théorèmes ................................................................................................................................. 108 III.6. Extremum ..................................................................................................................................... 109 III.6.1. Théorème .................................................................................................................................. 109 III.6.2. Exemple ..................................................................................................................................... 109 III.7. Convexité – concavité ................................................................................................................... 110 III.8. Point d’inflexion ........................................................................................................................... 111 III.9. Elasticité-point ............................................................................................................................. 111 IV. SUJETS SUR LES FONCTIONS (PROBLEME DE CAPES) .......................................................................................... 112 IV.1. Sujet N° 1 ..................................................................................................................................... 112 IV.1.1. Domaine de définition :............................................................................................................. 112 IV.1.2. Limites ....................................................................................................................................... 112 IV.1.3. Calcul de la dérivée : ................................................................................................................. 113 IV.1.4. Sens de variation et tableau de variation ................................................................................ 113 IV.1.5. Centre de symétrie .................................................................................................................... 113 IV.1.6. Equation de la tangente ........................................................................................................... 113 IV.1.7. Nombre de racines de l'équation .............................................................................................. 113 IV.2. Sujet N° 2 ..................................................................................................................................... 114 7 IV.2.1. Correction ................................................................................................................................. 114 V. APPLICATION DE L’ETUDE DE FONCTION A LA MICROECONOMIE (FONCTIONS DE DEMANDE) ...................................... 115 V.1. Sujet N°1 ...................................................................................................................................... 115 Corrigé .................................................................................................................................................. 115 V.2. Sujet N° 2 ...................................................................................................................................... 117 Corrigé .................................................................................................................................................. 117 CALCUL INTEGRAL ................................................................................................................................... 119 I. PRIMITIVES ................................................................................................................................................ 119 I.1. Définition ........................................................................................................................................ 119 I.2. Existence et propriétés d’une primitive .......................................................................................... 119 I.2.3. Existence ..................................................................................................................................... 119 uploads/Finance/ maths.pdf