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ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA – ABIDJ

ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA – ABIDJAN INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA – YAOUNDÉ AVRIL 2006 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie ORDRE GÉNÉRAL (Durée de l’épreuve : 4 heures) Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants. Sujet n° 1 Le développement durable a été défini en 1987 par Mme Brundtland, Premier Ministre norvégien, comme «un développement qui répond aux besoins du présent sans compromettre la capacité des générations futures à répondre aux leurs.» Selon vous, quelles sont les conditions nécessaires à cet équilibre, en Afrique notamment ? Sujet n° 2 «Une éthique des sciences est-elle nécessaire ?» Argumentez avec des exemples. Sujet n° 3 «Ceux qui ne peuvent pas se souvenir du passé sont condamnés à le répéter.» (George Santayana, «La Vie de la Raison») Quelles réflexions vous inspire cette phrase ? Vous pouvez envisager votre réflexion du point de vue de l’histoire collective mais aussi individuelle. ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA – ABIDJAN INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA – YAOUNDÉ AVRIL 2006 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie 1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée de l’épreuve : 4 heures) Les exercices et le problème sont indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque. L’épreuve traitant en partie de la divisibilité et des nombres premiers, on rappelle donc en préambule que : - a et b étant deux nombres entiers naturels, b > 0, b divise a s’il existe q ∈ N tel que a = bq, - un nombre entier naturel a est premier s’il n’est divisible que par 1 et par lui-même, - deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1, - le chiffre 1 n’est pas considéré comme un nombre premier. Exercice 1 On appelle nombre parfait un nombre entier naturel a dont la somme des diviseurs est égale à 2a. 1) Parmi les entiers suivants, y en a-t-il de parfaits : 3, 6, 10, 14, 20, 28 ? 2) Soit a = 2n (2n+1 – 1), n ∈ N. On suppose que (2n+1 – 1) est premier. Montrer que a est un nombre parfait. Exercice 2 On appelle nombre polymonadique tout nombre entier ne s’écrivant qu’avec le chiffre 1 : 1, 11, 111, etc. On note P(n) le nombre polymonadique s’écrivant avec n chiffres 1. 1) Montrer que P(n) = (10n – 1)/9. 2) Montrer que, pour n pair, P(n) est divisible par 11. 3) Montrer que pour m entier, si m divise n, P(m) divise P(n). 4) En déduire que si P(n) est un nombre premier, alors n est premier. 5) Etudier P(5). Qu’en est-il de la réciproque du résultat de la question (4) ? Problème Ce problème comporte trois parties ; la partie A établit des résultats généraux qui seront utilisés dans les parties B et C. Préambule : Soit un, n ∈ N*, la suite définie par un+2 = un+1 + un + 1, avec u1 = 1 et u2 = 2. Montrer que la suite un est positive et croissante. Partie A : 1) On définit la suite vn, n > 0, par : vn = un + 1. Ecrire la relation existant entre vn+2, vn+1 et vn. Montrer que la suite vn est positive et croissante. 2) Donner l’expression précise de vn en fonction de n. 3) En raisonnant par récurrence, démontrer les relations suivantes : (R1) (v2n)² = v2n-1.v2n+1 – 1 (R2) (v2n+1)² = v2n.v2n+2 + 1 4) Déduire de la question (3) la relation : (R3) (u2n+1 - u2n-1)² = u2n-1.u2n+1 + u2n-1 + u2n+1 5) Montrer la relation (R4) et en déduire (R5): (R4) (u2n+1 + u2n-1)² = 5u2n-1.u2n+1 + u2n-1 + u2n+1 (R5) 5u2n-1.u2n+1 = (u2n+1 + u2n-1)(u2n+1 + u2n-1 – 1) Partie B : L’objectif de cette partie est d’utiliser les résultats de la partie A pour étudier l’existence de nombres premiers dans la suite un, ayant un rang impair. 6) A partir de la relation (R5), démontrer que si u2n-1 est premier, il divise soit u2n+1, soit u2n+1 – 1. 7) On considère le premier cas : u2n-1 divise u2n+1, c’est-à-dire u2n+1 = q. u2n-1, q entier. 7a) Montrer que q > 1. 7b) A partir de (R4), en déduire : (R6) (q² – 3q + 1) u2n-1 = 1 + q 7c) Montrer que les seules valeurs possibles pour q dans la relation (R6) sont q = 3 ou 4. Le terme u2n-1 est-il alors un nombre premier ? 8) Dans cette question, on considère le deuxième cas : u2n-1 divise u2n+1 – 1, c’est-à- dire que l’on a (u2n+1 – 1) = q’. u2n-1, q’ entier. 8a) Montrer que q’ > 1. 8b) Démontrer (R7) (q’² – 3q’ + 1) u2n-1 = 4 – q’ 8c) Montrer que la seule valeur possible pour q’ dans la relation (R7) est q’ = 3. Dans ce cas, le terme u2n-1 est-il alors un nombre premier ? 9) Un terme de rang impair de la suite un peut-il être un nombre premier ? Partie C : L’objectif de cette partie est d’utiliser les résultats de la partie A pour étudier l’existence des nombres premiers de la suite un ayant un rang pair. 10) En utilisant la relation (R2), démontrer : (R8) [(u2n+2 + 1) + (u2n + 1)]² = 5(u2n + 1)(u2n+2 + 1) + 1 En déduire : (R9) 5u2n.u2n+2 = (u2n + u2n+2 – 2)(u2n + u2n+2 + 1) 11) Démontrer alors que si u2n est premier, il divise u2n+2 – 2 ou u2n+2 +1. 12) On considère le premier cas : u2n divise u2n+2 – 2, c’est-à-dire (u2n+2 – 2) = q. u2n, q entier. 12a) Montrer que q > 1. 12b) Démontrer : (R10) (q² – 3q + 1) u2n = 7 – 3q 12c) Existe-t-il au moins une valeur de q donnant un sens à (R10) ? 13) On considère le deuxième cas : u2n divise u2n+2 + 1, c’est-à-dire (u2n+2 + 1) = q’ u2n, q’ entier. 13a) Montrer que q’ > 1. 13b) Démontrer : (R11) (q’² – 3q’ + 1) u2n = 3q’ – 2 13c) A partir de (R11), montrer que les seuls cas possibles sont q’ = 3, 4 ou 5. Déterminer alors le(s) seul(s) terme(s) nombre(s) premier(s) de la suite un. ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA – ABIDJAN INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA – YAOUNDÉ AVRIL 2006 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie ÉCONOMIE (Durée de l’épreuve : 4 heures) Les candidats traiteront au choix l’un des deux sujets suivants. Sujet n° 1 Les récentes négociations de l’Organisation Mondiale du Commerce à Hongkong se sont terminées par un demi succès pour les économies en développement : en effet, les échanges agricoles semblent devoir encore rester limités par le protectionnisme des grandes puissances industrielles mais la tendance est à la libéralisation. Dans un premier temps, vous rappellerez rapidement les grandes tendances du commerce international depuis les premiers «Rounds» diplomatiques menés au sein du GATT (grandes étapes des négociations internationales et évolution des flux géographiques et sectoriels). Dans un second temps, vous vous appuierez sur la théorie économique (et en particulier la théorie de la croissance en économie ouverte) pour exposer les enjeux du commerce pour le développement des économies émergentes. Enfin, vous vous demanderez à quelles conditions les scénarios prédits par la théorie peuvent s’appliquer aux économies les moins développées. Sujet n° 2 Pendant longtemps, le régime de change fixe a été la règle. L’effondrement du système de Bretton Woods, puis la mondialisation des échanges de biens et services et la mobilité accrue des flux de capitaux ont remis en question la pertinence de la fixité. Toutefois, la généralisation du régime de change flexible semble se heurter au scepticisme d’une grande part des gouvernements des économies en développement. D’une part, le régime de change fixe constitue l’un des outils de stabilisation des prix dans des régimes de politique économique à ancrage nominal cambiaire. D’autre part, les économies redoutent la forte volatilité des taux de change dans des économies peinant à atteindre simultanément équilibres externe et interne. En vous appuyant sur le modèle de Mundell Fleming, il vous est demandé de poser le problème du choix d’un régime de change «optimal» permettant d’assurer tout à la fois stabilité macroéconomique et croissance dans les économies en développement. ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA – ABIDJAN INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA – YAOUNDÉ AVRIL 2006 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée de l’épreuve : 3 heures) Exercice n° 1 Soit le nombre entier a = 32n – 2n. Montrer que a est divisible par 7. Exercice n° 2 n Pour tout entier naturel n, n ∈ N, on définit le nombre f(n) = 2(2 ) + 1 1) Calculer f(0), f(1), f(2), f(3) 2) Montrer que : f(n+1) = (f(n) – 1)² + 1 3) Montrer que f(n) = 2 uploads/Finance/ iseeco-2006.pdf