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Page 1 sur 15 Etudier une machine thermique en utilisant un diagramme (P,h) I -

Page 1 sur 15 Etudier une machine thermique en utilisant un diagramme (P,h) I - Travail des forces de pression pour un fluide en écoulement Dans le cas d’un fluide en écoulement, on ne peut pas utiliser l’expression habituelle pour calculer le travail des forces de pression parce que la pression extérieure a ici deux valeurs différentes sur la surface du système. Il faut revenir à la définition du travail d'une force vue en mécanique. On étudie le cas où le système est un volume de fluide en écoulement dans une conduite. Soit un fluide s'écoulant dans une conduite dont la section a une surface S. Dans ce fluide, on isole par l'esprit un système fermé Σ constitué par le fluide contenu dans la surface comprise entre les sections A1 et A2 de la conduite à l'instant t (voir figure précédente). A l'instant t' = t + dt le système Σ (donc le même fluide) est contenu dans la surface comprise entre les sections A’1 et A’2. On appelle dl1  A1 A '1 et dl2  A2 A '2 les déplacement élémentaires entre t et t + dt des deux sections délimitant le système (voir figure précédente). Page 2 sur 15 P2 Su 2 La pression en A1 est égale à P1 et elle est égale à P2 en A2. On note S la surface de la section de la conduite. La force de pression exercée appliquée à Σ sur la section A1 s'écrit : F 1  P 1Su est le vecteur unitaire dans le sens de l'écoulement. Elle fournit dans le déplacement considéré le travail : W  F .dl       P dV 1 1 1 P 1Su.dl1 P 1Su.dl1u 1 1 où dV1 est le volume compris entre les section A1 et A’1, volume balayé par la surface limitant le système. Ce travail est positif : le fluide en amont pousse le fluide de Σ. La force de pression exercée appliquée à Σ sur la section A2 fournit dans le déplacement considéré le travail : s'écrit : F    . Elle W  F .dl          P dV 2 2 2 P2 Su.dl2 P2 Su.dl2u 2 2 où dV2 est le volume compris entre les section A2 et A’2, volume balayé par la surface limitant le système. Ce travail est négatif : le fluide en aval repousse le fluide de Σ. Au total, le travail des forces de pressions est dans ce cas : W  P1 dV1  P2 dV2 Remarque : La variation de volume du système est dV = dV2 - dV1. Ainsi, si on avait P1 =P2 = Pext, on aurait formule habituelle. W  Pext (dV1  dV2 )   Pext dV et on retrouverait bien la II - Premier principe pour un fluide en écoulement Lorsque le fluide s’écoule dans une machine thermique, il traverse plusieurs éléments qui permettent de réaliser les échanges énergétiques considérés. Afin de pouvoir obtenir une relation faisant apparaitre les échanges énergétiques dans l’un des éléments du circuit, on utilise le premier principe pour un fluide en écoulement.  Page 3 sur 15 On considère, de manière générale, un fluide en écoulement lent, passant dans un élément actif à l’intérieur duquel il peut échanger un travail et/ou un transfert thermique. Entre l’entrée et la sortie de cet élément, les grandeurs thermodynamique massiques du fluide (enthalpie massique h , énergie interne massique u , volume massique v ) changent. Soient w et q le travail et le transfert thermique massiques reçus par le fluide qui traverse l’élément actif. Le travail w est échangé par le fluide avec les pièces mobiles, à l’intérieur de l’élément actif. On considère le système  fermé. Dans l’état initial,  contient une masse m de fluide située devant l’entrée de l’élément actif ainsi que le fluide qui remplit l’élément actif. Dans l’état final,  contient le fluide qui remplit l’élément actif ainsi que la masse m de fluide à la sortie. On suppose l’écoulement stationnaire : l’état du fluide en un point donné de la canalisation est le même à chaque instant (même si, à deux instants différents, ce n’est pas le même fluide qui s’y trouve). Ainsi, à l’instant final, le fluide à l’intérieur de l’élément actif a exactement les mêmes propriétés que celui qui se trouve au même endroit à l’instant initial. La variation d’énergie interne de  entre l’état initial et l’état final provient de la masse m de fluide qui, dans l’état initial, a une énergie interne massique ue , et dans l’état final, une énergie interne massique us : U  mus  mue . Page 4 sur 15 Pour simplifier, on fait l’hypothèse que le fluide s’écoule lentement et que la variation d’énergie cinétique est négligeable devant la variation d’énergie interne : Ec ≪  U . On fait donc l'approximation Ec  0 . Au cours de la transformation, le système  reçoit un travail de la part des forces de pression, qui le poussent à l’entrée et le repoussent à la sortie. On note Pe et Ps les pressions à l’entrée et à la sortie. Elles sont supposées uniformes sur les volumes occupés par m à l’entrée et à la sortie.1 On a donc WP  PeVe  PsVs avec Ve  mve et Vs  mvs . WP  mPeve  mPsvs . De plus,  reçoit dans l’élément actif un travail appelé travail utile Wu . On utilisera dans la suite le travail utile massique wu  reçoit aussi un transfert thermique Q Premier principe :  Wu  mq .  mwu . U  Ec  WP Wu  Q  us  ue  Peve  Psvs  wu  q . On peut réécrire cette équation us  Psvs  ue  Peve   wu  q  hs  he  wu  q . Pour un fluide en écoulement stationnaire lent, traversant un élément actif à l’intérieur duquel il reçoit un travail utile massique wu et un transfert thermique massique q , le premier principe s’écrit, en négligeant la variation d’énergie cinétique , où h est la variation d’enthalpie massique entre l’entrée et la sortie de l’élément actif. L’intérêt de cette formulation du premier principe est qu’elle ne fait pas intervenir directement le travail des forces de pression, travail interne au fluide, mais uniquement le travail utile, travail échangé par le fluide avec les parties mobiles de l'élément actif. Exemples  dans le compresseur, le fluide reçoit des pièces mobiles un travail massique wcomp et ne reçoit aucun transfert thermique : h1  wcomp ;  dans le condenseur, il n’y a pas de pièce mobile et le fluide reçoit un transfert thermique massique qc  0 de la source chaude2 : h2  qc ; 1 On choisit m suffisamment petite pour que cela soit le cas. 2 Il lui cède donc le transfert thermique massique qc  0 . h  wu  q Page 5 sur 15  dans le détendeur il n’y a pas de pièce mobile et le fluide ne reçoit aucun transfert thermique : h3  0 ;  dans l’évaporateur il n’a pas de pièce mobile et le fluide reçoit un transfert thermique massique qf de la source froide : h4  qf . III - Diagramme (p,h) ou diagramme des frigoristes Présentation Afin d’étudier le fonctionnement de machines thermiques dans lesquelles se produisent des changements d’état, on utilise souvent des diagrammes  p, h . Diagramme (p,h) de l’isobutane En abscisse est portée l’enthalpie massique h , et en ordonnée la pression p . Cette dernière est fréquemment indiquée en échelle logarithmique, car la gamme de pression usuelle s’étend sur plusieurs ordres de grandeur. On distingue trois zones, séparées par une frontière (trait gras) qui correspond au lieu d’apparition d’un changement état. Au sommet de la frontière figure le point critique C. Sous la frontière se situent les états d’équilibre liquide-vapeur. Sur la partie gauche de la frontière, le fluide est à l’état liquide. La partie droite du diagramme correspond à la vapeur sèche. Page 6 sur 15 Isothermes Les isothermes sont les courbes (ici en rouge) qui sont :  des horizontales confondues avec les isobares dans la partie liquide-vapeur, car dans un changement d’état de corps pur, fixer la température impose la pression ; seules les extrémités du palier de changement d’état sont ici représentées pour ne pas surcharger le diagramme ;  des courbes qui tendent à devenir verticales lorsqu’on s’écarte de la frontière dans la zone de vapeur : en effet, loin des conditions du changement d’état, la vapeur tend à se comporter comme un gaz parfait, pour lequel h ne dépend que de T ; T  cste correspond alors à une abscisse h constante. Titre en vapeur Dans la zone d’équilibre liquide-vapeur apparaissent des courbes isotitres (en noir ici, et le titre en vapeur est uploads/Finance/ exercice 9 .pdf