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C:\New Data\Lycée\Cours mécanique\2ème année\Cours dynamique des systèmes corri

C:\New Data\Lycée\Cours mécanique\2ème année\Cours dynamique des systèmes corrigé.doc L.D. 14/03/2005 PAGE 1/4 DYNAMIQUE DES SYSTEMES 1. INTRODUCTION Ce chapitre étudie les relations entre les mouvements et les actions mécaniques des systèmes mécaniques. Un système mécanique étant constitué de plusieurs solides pouvant avoir des mouvements différents (nature ou caractéristiques cinématiques), le but est de déterminer une relation entre les accélérations et actions mécaniques d’entrée et de sortie du système étudié en vue de calculer le couple moteur (ou la force motrice) nécessaire dans la phase transitoire d’accélération (et cela en tenant compte des rendements des systèmes de transformation de mouvement et des inerties propres à chaque solide en mouvement). 2. METHODE DE BASE Soit un système mécanique constitué de ‘n’ sous-ensembles cinématiques (ou classes d’équivalence): Prenons comme exemple un système constitué d’un moteur électrique, d’un réducteur à engrenages comportant deux étages (de raison r1 et r2) et d’un système de transformation de mouvement par pignon-crémaillère (rayon du pignon R3) : On suppose dans un premier temps le rendement global égal à 1. Les principales caractéristiques du système étudié sont précisées sur le schéma ci-dessous : On applique le P.F.D. à chacun des ‘n’ sous-ensembles : (tous les couples sont supposés positifs) P.F.D. à 1 : Cm - C2 * r1 = I1 * θ’’ 1 (1) P.F.D. à 2 : C2 - C3 * r2 = I2 * θ’’ 2 (2) P.F.D. à 3 : C3 - F4 * R3 = I3 * θ’’ 3 (3) P.F.D. à 4 : F4 - Fext = M4 * γ4 (4) De plus on a des relations entre les accélérations des solides : r1 = θ’’ 2 / θ’’ 1 (5) r2 = θ’’ 3 / θ’’ 2 (6) R3 = γ4 / θ’’ 3 (7) Par élimination progressive des inconnues internes au système étudié, on parvient à trouver une relation appelée loi d’entrée - sortie liant les actions mécaniques d’entrée avec celles de sortie par l’intermédiaire des inerties de chaque sous-ensemble et des relations cinématiques. Dans notre exemple cette relation est la suivante : 1 ( θ’’ 1 , I1 ) 2 ( θ’’ 2 , I2 ) 3 ( θ’’ 3 , I3 ) 4 ( γ4 , M4 ) Cm Fext raison r1 raison r2 rayon du pignon R3 réducteur à engrenage réducteur à engrenage système pignon-crémaillère M C:\New Data\Lycée\Cours mécanique\2ème année\Cours dynamique des systèmes corrigé.doc L.D. 14/03/2005 PAGE 2/4 Cm = θ’’ 1 *[ I1 + (I2 * r1 2 ) + (I3 * r2 2 * r1 2 ) + ( M4 * R3 2 * r2 2 * r1 2 )] + Fext * R3 * r2 * r1 3. GENERALISATION : METHODE DES INERTIES EQUIVALENTES La méthode consiste à définir un système fictif équivalent au système étudié. Ce système fictif relie directement l’actionneur (moteur ou vérin) à la charge extérieure (couple ou force) et possède une inertie (moment ou masse) équivalente à celle du système réel. Le P.F.D. appliqué à ce système fictif s’écrit en projection sur l’axe du mouvement de l’actionneur : - pour les actionneurs rotatifs : Cm = Cr équi + Iéqui * θ’’m - pour les actionneurs linéaires : Fm = Fr équi + Méqui * γm Tous les termes de ces équations sont supposés positifs. On remarque qu’en régime permanent : Cm = Cr équi Fm = Fr équi 3.1. Détermination du couple ou de l’effort résistant équivalent ramené sur l’arbre moteur : Pour déterminer Cr équi ou Fr équi , il faut écrire les relations énergétiques et cinématiques liant les grandeurs d’entrée et de sortie du système étudié. Cr équi et Fr équi doivent dépendre des caractéristiques cinématiques et du rendement du système. 3.2. Détermination de l’inertie équivalente ramenée sur l’arbre moteur Pour déterminer le moment d’inertie ou la masse équivalente, il faut écrire l’énergie cinétique totale du système étudié. Pour cela il est commode de procéder en trois étapes : Ecriture de l’énergie cinétique de chaque sous-ensemble cinématique. Ecriture des relations liant les paramètres cinématiques des sous-ensembles. Ecriture de l’énergie cinétique totale en fonction de la vitesse de l’actionneur. Accélération angulaire de l’arbre d’entrée 1 Inertie équivalente de l’arbre 2 ramenée sur l’arbre d’entrée 1 Inertie de l’arbre d’entrée 1 Inertie équivalente de l’arbre 3 ramenée sur l’arbre d’entrée 1 Couple permanent sur le solide 4 ramené sur l’arbre d’entrée 1 Inertie équivalente du solide 4 ramenée sur l’arbre d’entrée 1 C:\New Data\Lycée\Cours mécanique\2ème année\Cours dynamique des systèmes corrigé.doc L.D. 14/03/2005 PAGE 3/4 3.3. Exemple : Reprenons l’exemple précédent, en y intégrant les rendements de chaque sous-système : Le premier étage de raison r1 à un rendement η1 Le second étage de raison r2 à un rendement η2 Le système pignon-crémaillère à un rendement η3 Déterminons le couple résistant équivalent ramené sur l’arbre moteur : Relations sur le réducteur à deux étages : rtot = r1 * r2 = ω3 / ω1 de plus: P3 / P1 = η1 * η2 = (C3 * ω3 ) / (Cm * ω1 ) d’où: Cm = (C3 * r1 * r2 ) / (η1 * η2 ) (1) Relations sur le système pignon-crémaillère : V4 = R3 * ω3 de plus: P4 / P3 = η3 = (Fext * V4 ) / (C3 * ω3 ) d’où: C3 = (Fext * R3 ) / η3 (2) (1) et (2) donne : Réqui C R r r F = Cm 3 * 2 * 1 3 * 2 * 1 * ext = η η η Déterminons le moment d’inertie équivalent ramené sur l’arbre moteur : Energie cinétique de chaque sous-ensemble cinématique : ECIN 1 = ½* I1 *ω1 2 ECIN 2 = ½* I2 *ω2 2 ECIN 3 = ½* I3 *ω3 2 ECIN 4 = ½* M4*V4 2 Relation liant les grandeurs cinématiques de chaque sous-ensemble : r1 = ω2 / ω1 r2 = ω3 / ω2 V4 = R3 * ω3 Energie cinématique du système complet : ECIN = ECIN 1 + ECIN 2 + ECIN 3 + ECIN 4 = ½* [ I1 *ω1 2 1+ I2 *ω2 2 + I3 *ω3 2 + M4*V4 2 ] ECIN = ½ * ω1 2 * [I1 + I2 * r1 2 + I3 * r2 2 * r1 2 + M4 * r1 2 * r2 2 * R3 2] = ½ * ω1 2 * Iéqui Déterminons la relation finale liant Cm , Iéqui et Cr équi : Cm = θ’’ 1 *[ I1 + (I2 * r1 2 ) + (I3 * r2 2 * r1 2 ) + ( M4 * R3 2 * r2 2 * r1 2 )] + F r r R ext * 1 * 2 * 3 η η η 1 2 3 * * M Cm F 1 2 3 4 C:\New Data\Lycée\Cours mécanique\2ème année\Cours dynamique des systèmes corrigé.doc L.D. 14/03/2005 PAGE 4/4 4. DETERMINATION DE Iéqui et Cr équi POUR LES APPLICATIONS LES PLUS COURANTES 4.1. Moteur + réducteur à deux étages + charge Cr équi = Cext * r1 * r2 / (η1 * η2 ) Iéqui = I1 + ( I2 * r1 2 ) + ( Ic * r1 2 * r2 2 ) 4.2. Moteur + réducteur + système vis-écrou + charge Cr équi = Fext * r1 * p / (2*π*η1 * η2 ) Iéqui = I1 + (I2 * r1 2 ) + ( Mc * r1 2 * [ p / ( 2*π )]2 ) 4.3. Chariot automoteur : moteur + réducteur + roues + chariot Cr équi = Fext * r1 * R / η1 Iéqui = I1 + 2*(I2 * r1 2 ) + ( Mc * r1 2 * R2 ) 4.4. Vérin + pignon-crémaillère Fr équi = Cext / ( R * η1 ) Méqui = M1 + (I2 / R2 ) r1 , η1 r2 , η2 Cext Ic M I1 I2 réducteur 1 réducteur 2 r1 , η1 p , η2 Fext Mc M I1 I2 réducteur M r1 , η1 I2 I1 masse : Mc chariot Fext I2 I2 R η1 Cext masse : M1 I2 , rayon R uploads/Finance/ dynamique-systemes-pdf.pdf