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CPP – 2013/2014 Algèbre générale I J. Gillibert Corrigé du TD no 7 Exercice 1 D

CPP – 2013/2014 Algèbre générale I J. Gillibert Corrigé du TD no 7 Exercice 1 Dire si chacune des relations ci-dessous est réﬂexive, symétrique, ou transitive. 1. La relation R sur Q déﬁnie par : xRy ⇔xy ̸= 0 (a) La relation R est-elle réﬂexive ? C’est-à-dire, est-il vrai que xRx pour tout x ∈Q ? Ici xRx signiﬁe x2 ̸= 0, ce qui est faux pour x = 0. Donc R n’est pas réﬂexive. (b) La relation R est-elle symétrique ? C’est-à-dire, est-il vrai que xRy ⇔yRx pour tout couple (x, y) ∈Q2 ? La réponse est oui, car xy ̸= 0 ⇔yx ̸= 0. (c) La relation R est-elle transitive ? C’est-à-dire, étant donné trois nombres x, y et z tels que xRy et yRz, est-il vrai que xRz ? La réponse est oui. En eﬀet, si xy ̸= 0 alors x ̸= 0 et y ̸= 0. De même, si yz ̸= 0, alors y ̸= 0 et z ̸= 0. Il en résulte que xz ̸= 0 puisque x et z sont non nuls. 2. La relation T sur Z déﬁnie par : aTb ⇔a −b est divisible par 2 ou par 3 (a) La relation T est réﬂexive. En eﬀet, pour tout a ∈Z, a −a = 0 est divisible par 2 (et par 3 !). (b) La relation T est symétrique. En eﬀet, si aTb est vrai, alors a −b est divisible par 2 ou par 3, donc son opposé b −a est lui aussi divisible par 2 ou par 3, c’est-à-dire que bTa est vrai. (c) La relation T n’est pas transitive. On peut donner le contre-exemple suivant : 6T3 et 3T1 sont vrais, mais 6T1 est faux. Exercice 2 On considère la relation R sur R déﬁnie par : xRy ⇔x2 −y2 = x −y 1. On remarque que : xRy ⇔x2 −x = y2 −y Grâce à cette nouvelle formulation, il est facile de vériﬁer que R est une relation d’équivalence (ce que nous ne faisons pas ici). 2. Soit x ∈R. Par déﬁnition, la classe d’équivalence de x, notée Cl(x), est l’ensemble Cl(x) = {y ∈R | xRy} On cherche donc l’ensemble des y satisfaisant x2 −y2 = x −y. Bien sûr, y = x est solution, puisque R est réﬂexive. Pour trouver les autres solutions, on peut supposer que y ̸= x. Sachant que x2 −y2 = (x −y)(x + y), l’équation devient (x −y)(x + y) = x −y, d’où x + y = 1 en divisant les deux côtés par x −y. Autrement dit, y = 1 −x. Au ﬁnal, nous avons montré que : Cl(x) = {x, 1 −x}. Exercice 3 On déﬁnit une relation ∼sur P(R) (l’ensemble des parties de R) en posant : X ∼Y ⇔X ∪[0, 1] = Y ∪[0, 1] 1 1. Vériﬁons que ∼est bien une relation d’équivalence : (a) Réﬂexivité : pour toute partie X de R, il est vrai que X ∪[0, 1] = X ∪[0, 1], donc X ∼X. (b) Symétrie : si X et Y sont deux parties de R, alors : X ∪[0, 1] = Y ∪[0, 1] ⇔Y ∪[0, 1] = X ∪[0, 1] c’est-à-dire que X ∼Y ⇔Y ∼X. (c) Transitivité : si X, Y et Z sont trois parties de R telles que X ∼Y et Y ∼Z, alors nous avons X ∪[0, 1] = Y ∪[0, 1] et Y ∪[0, 1] = Z ∪[0, 1] il en résulte que X ∪[0, 1] = Z ∪[0, 1] c’est-à-dire que X ∼Z. 2. La classe d’équivalence de X pour la relation ∼est Cl(X) = {Y ∈P(R) | X ∪[0, 1] = Y ∪[0, 1]} Aﬁn de décrire plus explicitement Cl(X), on fait la remarque suivante : X ∪[0, 1] = Y ∪[0, 1] si et seulement si X \ [0, 1] = Y \ [0, 1]. À partir de là, on voit que : Cl(X) = {(X \ [0, 1]) ∪A | A ⊆[0, 1]} 3. Par déﬁnition, l’ensemble quotient P(R)/ ∼est l’ensemble des classes d’équivalence pour la relation ∼. Pour identiﬁer cet ensemble, on peut choisir un représentant, le plus naturel possible, dans chaque classe. Or, d’après la question précédente, la classe de X est caractérisée par X \ [0, 1], que l’on peut prendre comme représentant. Vu sous cet angle, l’ensemble quotient s’identiﬁe à l’ensemble des parties de la forme X \ [0, 1], c’est-à-dire à l’ensemble des parties de R \ [0, 1]. Exercice 4 Soit E l’ensemble des droites du plan euclidien R2. On considère la relation ∥sur E déﬁnie par : D ∥D′ ⇔D est parallèle à D′ 1. Vériﬁons que ∥est une relation d’équivalence : (a) Réﬂexivité : une droite D est bien parallèle à elle-même. (b) Symétrie : si D est parallèle à D′, alors D′ est parallèle à D. (c) Transitivité : si D est parallèle à D′, et si D′ est parallèle à D′′, alors D est parallèle à D′′. 2. Soit E0 l’ensemble des droites passant par l’origine. Alors chaque classe d’équivalence pour la relation ∥contient un unique élément de E0 : en eﬀet, d’après le postulat d’Euclide, si l’on se donne une droite D du plan, alors il passe par un point donné (ici en l’occurence, l’origine du plan) une unique droite parallèle à D. En d’autres termes, l’application E0 − →E/ ∥ D0 7− →Cl(D0) est bijective, ce qu’on voulait. 3. D’après la question précédente, pour montrer que l’ensemble quotient E/ ∥est en bijection avec R ∪{∞}, il suﬃt de montrer que E0 est en bijection avec R ∪{∞}. Pour cela, on considère l’application E0 − →R ∪{∞} D0 7− →le coeﬃcient directeur de D0 avec la convention suivante : la droite verticale a pour coeﬃcient directeur ∞. Il est facile de vériﬁer que cette application est bijective, d’où le résultat. 2 Exercice 5 On considère la relation R sur Z × Z∗déﬁnie par : (a, b)R(c, d) ⇔ad = bc 1. Montrons que R est une relation d’équivalence (a) Réﬂexivité : soit (a, b) ∈Z × Z∗. Alors ab = ba donc (a, b)R(a, b). (b) Symétrie : nous avons (a, b)R(c, d) ⇔ad = bc ⇔cb = da ⇔(c, d)R(a, b) (c) Transitivité : soient trois couples (a, b), (c, d) et (e, f) tels que (a, b)R(c, d) et (c, d)R(e, f), c’est-à-dire ad = bc et cf = de. Alors il vient ad f = bcf et bcf = bde d’où ad f = bde. Comme d n’est pas nul, on en déduit que af = be, c’est-à-dire que (a, b)R(e, f). 2. On considère l’application q : (Z × Z∗)/R − →Q Cl((a, b)) 7− →a b Il faut d’abord vériﬁer que cette application q est bien déﬁnie, autrement dit que si (a, b) et (c, d) sont deux représentants de la même classe, alors a b = c d. Or cette dernière condition se traduit par ad = bc, qui est la déﬁnition même de (a, b)R(c, d). Autrement dit : a b = c d ⇔(a, b)R(c, d) Ceci montre à la fois que q est bien déﬁnie, et qu’elle est injective. La surjectivité est évidente. Exercice 6 Soit n > 0 un entier ﬁxé. Si a est un entier relatif, on note a la classe de a modulo n. 1. Montrer que : a = {a + nk | k ∈Z} = a + nZ 2. Montrer que : Z/nZ = {0, 1, . . . , n −1} où Z/nZ désigne l’ensemble quotient de Z par la relation de congruence modulo n. Exercice 7 Soit ω > 0 un réel ﬁxé. Si a est un réel, on note a la classe de a modulo ω. 1. Montrer que : a = {a + ωk | k ∈Z} = a + ωZ 2. Montrer que l’ensemble quotient R/ωZ est en bijection avec l’intervalle [0, ω[. 3 uploads/S4/ td7-corrige 1 .pdf