Groupes quotients 1 Introduction La notion de relation d’équivalence utilisée a

Groupes quotients 1 Introduction La notion de relation d’équivalence utilisée au niveau des groupes va nous fournir un moyen de construire des groupes. Ces groupes s’appellent les groupes quotients et leur importance est capitale en mathématique. 2 Construction du quotient d’un groupe Dans toute cette leçon, (G,.) désigne un groupe et (H,.) désigne un sous groupe de G. On considère aussi la relation, si x et y sont éléments de G: x y
x  1  y  H  Proposition La relation définie par x y
x  1  y  H est une relation d’équi- valence. Démonstration Triviale!! Définition On notera G  H l’ensemble G  des classes d’équivalences de la re- lation sur G. Proposition Soit x  G. La classe d’équivalence de x pour la relation x y
y  x  1  H est l’ensemble Hx  x  h; y  H . Démonstration Soit y  G équivalent à x pour la relation . Alors il existe h  H tel que x  1  y  h. Et donc y est élément de Hx. Réciproquement, si y est élémennt de xH, il est clair que y x. Définition L’ensemble xH s’appelle classe à gauche de l’élément x de G. Remarque On aurait aussi put définir notre relation d’équivalence par: x y
y  x  1  H  Dans ce cas, la classe d’équivalence d’un élément x de G aurait été donné par l’en- semble Hx. 1 Définition L’ensemble Hx s’appelle classe à droite de l’élément x de G. Proposition Si H est un sous groupe fini de G et si x et y sont deux éléments de G alors les classes d’équivalences (à gauche ou à droite) de x et y pour la relation ont même nombre d’éléments et ce nombre est égal au cardinal de H. Démonstration Soit x un élément de G. Posons f : H xH h f h  x  h. f est injective car si h et h’ sont des éléments de H tels que f h  f h  alors on a l’éga- lité x  h  x  h  et x étant élément du groupe G, ceci implique, en multipliant à gauche chacun des membres de l’égalité précédente par x  1 que h=h’. f est aussi surjective car si y est un élément de xH, alors il existe h  H tel que y  x  h et donc y  f h  . f étant à la fois injective et surjective, elle est bijective. Ceci prouve que H et xH ont même nombre d’éléments. Mais si y est un élément de G, yH et H auront aussi même nombre d’éléments. Donc xH et yH ont même cardinal. De même on montrerait que toutes les classes à droite pour une relation , issue d’un sous groupe H de cardinal fini dans G, ont même nombre d’éléments, ce nombre étant égal à |H|. Le théorème qui vient maintenant et qui résulte des propositions précédentes est fondamental en algèbre. Théorème de Lagrange Soit G un groupe fini. Si H est un sous groupe de G, alors le cardinal de H divise celui de G. On notera |G/H| où [G:H] le nombre |G|/|H|. [G:H] s’appelle l’indice de H dans G. Démonstration Soit donc H un sous groupe de G. On considère la relation d’équi- valence associée à H. Elle nous permet de définir une partition de G par des sous ensembles de la forme xH où x  G. On peut donc trouver, G étant fini, un nombre n  IN et x1    xn  G tels que  x1H   xnH forme une partition de G. Mais les sous ensembles xiH ont tous, d’après la proposition précédente, le même nombre d’élé- ments. De plus, ce nombre est égale à |H|. Donc le cardinal de G s’écrit |G|=n|H|. Ceci prouve notre théorème. On donne maintenant un corollaire du théorème de Lagrange qui est absolument fondamental dans la théorie des groupes finis. Théorème Soit G un groupe. Soit g un élément de G d’ordre fini. Alors l’ordre de g divise l’ordre de G. Démonstration Soient G et g comme dans l’énoncé du théorème et soit n l’ordre de g. Alors  g  g2    gn  e est un sous groupe de G. Cette affirmation est triviale à vérifier. De plus, par définition de l’ordre d’un élément dans un groupe, ce sous groupe est de cardinal n. Par application du théorème de Lagrange, n est un diviseur du cardi- nal de G. 2 On se posera, un peu plus tard dans le cours, le problème réciproque, à savoir: Si p est un diviseur de l’ordre du groupe alors existe-t-il un élément d’ordre p dans G ou encore: existe-t-il un sous groupe d’ordre p dans G. La réponse sera donnée par le théorème de Cauchy pour les éléments d’ordre p et sous certaines conditions sur p, et par le théorème de Sylows, pour les sous groupes d’ordre p, sous certaines conditions sur p et sur G. Il est naturel de se demander pour quelles conditions sur H on a coïncidence entre les classes à gauche et les classes à droite. Nous allons nous pencher sur cette question dans la fin de ce paragraphe. Définition On dira que le sous groupe H de G est distingué ou normal dans G si pour tout g dans G et tout h dans H on a:g  h  g  1  H. On note H  G le fait que H soit normal dans G. Proposition Soit donc H un sous groupe de groupe G. Les classes à gauche et à droite de la relation d’équivalence héritée de H coïncident si et seulement si H est nor- mal dans G. Démonstration Supposons que les classes à gauche et à droite coïncident. Pour tout g dans G, on a: gH=Hg. donc en particulier, pour tout h dans H, il existe h’ dans H tel que g.h=h’.g. Donc pour tout h dans H, il existe h’ tel que g.h.g  1=h’  H. Ceci prouve que H  G. Réciproquement, supposons que H  G. Alors pour tout g dans G et tout h dans H, g.h.g  1 est élément de H. Donc pour tout g dans G et tout h dans H, g.h est dans H.g. On a ainsi montré que pour tout élément g de G, gH  Hg. Comme les cardinaux de gH et Hg sont égaux à celui de H, ils sont égaux entre eux et on a alors bien gH=Hg. La proposition suivante semble être anecdotique alors qu’elle est en fait fondamen- tale et permet de construire des groupes parmi les plus importants en Mathématique. Proposition Si G et G’ sont deux groupes et que f : G  G  est un homomor- phisme de groupe alors le noyau de f: Ker f est un sous groupe normal de G. Démonstration Je ne vous en ferais pas l’affront. 3 Structure de l’ensemble quotient d’un groupe Remarque Si x est élément de G, nous noterons x la classe d’équivalence de x dans G/H. x sera alors un représentant de la classe d’équivalence x. Définition Nous allons définir une loi interne  sur G/H par: Si x et y sont éléments de G alors x  y  x  y 3 Quand aucune confusion n’est à craindre, nous noterons la loi interne de G/H de la même façon que celle de G. Cette loi est celle induite de G sur G/H. Remarque Il faut vérifier que cette loi est bien définie sur G/H, c.a.d que si x,x’,y,y’ sont des éléments de G tels que x  x  et y  y  alors x  y  x   y   Proposition La loi définie précédemment est bien définie si et seulement si H est normal dans G. Démonstration La condition à vérifier pour que la loi précédente soit bien définie sur G/H est que si x,x’,y,y’ sont des éléments de G tels que x  x  et y  y  alors x  y  x   y   Etudions quelle propriété sur H nous permet de valider cette condition. La condition précédente est équivalente à la suivante: x  x   1  H  y  y   1  H  x  y  y   1  x   1  H  Mais comme, par hypothèse, y  y   1 est élément de H et que tout élément de H peut s’écrire sous la forme y  y   1 où y est élément de G ( si h est dans H on écrit h=h.e  1!!!), cette condition implique la suivante (qui semble bien moins restrictive): x  G  xHx uploads/S4/ groupes-quotients.pdf

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• Détails
• Publié le Mai 19, 2022
• Catégorie Law / Droit
• Langue French
• Taille du fichier 0.0412MB