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Chapitre 9. La fonction exponentielle Le chapitre sur la fonction exponentielle

Chapitre 9. La fonction exponentielle Le chapitre sur la fonction exponentielle est quasiment indissociable du chapitre suivant sur la fonction logarithme népérien. I. Déﬁnition de la fonction exponentielle Plus loin, la fonction exponentielle sera déﬁnie comme l’unique fonction f dérivable sur R telle que f ′ = f et f(0) = 1. (∗) Nous n’avons pas les moyens en terminale de démontrer l’existence d’une telle fonction et nous l’admettrons. Cependant, nous pouvons prouver que si une telle fonction existe, alors il n’y en a qu’une. Le théorème suivant prépare la démonstration de l’unicité en démontrant d’abord qu’une fonction vériﬁant (∗) ne s’annule pas sur R. Théorème 1. Soit f une fonction dérivable sur R telle que f ′ = f et f(0) = 1. Alors, pour tout réel x, f(x) × f(−x) = 1. En particulier, la fonction f ne s’annule pas sur R. Démonstration. Soit f une fonction dérivable sur R telle que f ′ = f et f(0) = 1. Soit g la fonction déﬁnie sur R par : pour tout réel x, g(x) = f(x) × f(−x). La fonction g est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x, g′(x) = f ′(x) × f(−x) + f(x) × (−1) × f ′(−x) = f ′(x)f(−x) −f(x)f ′(−x) = f(x)f(−x) −f(x)f(−x) (car f ′ = f) = 0. Ainsi, la dérivée de la fonction g est nulle. On sait alors que la fonction g est une fonction constante sur R. Par suite, pour tout réel x, g(x) = g(0) = (f(0))2 = 1. On a montré que pour tout réel x, f(x)×f(−x) = 1. En particulier, pour tout réel x, f(x)×f(−x) ≠0 puis f(x) ≠0. Ainsi, une fonction f telle que f ′ = f et f(0) = 1 ne s’annule pas sur R. On peut maintenant démontrer l’unicité d’une fonction vériﬁant (∗). Théorème 2. Soient f et g deux fonctions dérivables sur R telles que f ′ = f, g′ = g, f(0) = 1 et g(0) = 1. Alors, f = g. Démonstration. Soient f et g deux fonctions dérivables sur R telles que f ′ = f, g′ = g, f(0) = 1 et g(0) = 1. D’après le théorème 1, la fonction g ne s’annule pas sur R. On peut donc poser h = f g . La fonction h est dérivable sur R en tant que quotient de fonctions dérivables sur R dont le dénominateur ne s’annule pas sur R et pour tout réel x, h′(x) = f ′(x)g(x) −f(x)g′(x) (g(x))2 = f(x)g(x) −f(x)g(x) (g(x))2 = 0. La dérivée de h est nulle sur R. La fonction h est donc constante sur R. Par suite, pour tout réel x, h(x) = h(0) = f(0) g(0) = 1 1 = 1. Ainsi, pour tout réel x, f(x) g(x) = 1 ou encore, pour tout réel x, f(x) = g(x). On a montré que f = g ou encore on a montré l’unicité d’une fonction f vériﬁant la relation (∗). © Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr On peut maintenant donner la déﬁnition de la fonction exponentielle. Déﬁnition 1. La fonction exponentielle est l’unique fonction déﬁnie et dérivable sur R, égale à sa dérivée et prenant la valeur 1 en 0. Pour tout réel x, l’exponentielle du réel x est notée exp(x). Par déﬁnition, pour tout réel x, exp′(x) = exp(x) et exp(0) = 1. On rappelle que l’on admet l’existence d’une telle fonction. II. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle 1) Relation fonctionnelle Théorème 3. Pour tous réels x et y, exp(x + y) = exp(x) × exp(y). Démonstration. Soit y un réel ﬁxé. On sait d’après le théorème 1 que exp(y) ≠0. Pour tout réel x, on peut donc poser f(x) = 1 exp(y) × exp(x + y). La fonction f est dérivable sur R. Pour tout réel x, posons u(x) = x + y puis g(x) = exp(x + y) = exp(u(x)). Pour tout réel x, u′(x) = 1 + 0 = 1 puis, d’après le théorème de dérivation des fonctions composées, pour tout réel x, g′(x) = exp′(u(x)) × u′(x) = exp(u(x)) × 1 = exp(x + y). Comme 1 exp(y) est une constante quand x varie, on en déduit que pour tout réel x, f ′(x) = ( 1 exp(y)g) ′ (x) = 1 exp(y)g′(x) = 1 exp(y) × exp(x + y) = f(x). D’autre part, f(0) = 1 exp(y) × exp(0 + y) = 1. Ainsi, f est une fonction dérivable sur R telle que f ′ = f et f(0) = 1. Par unicité d’une telle fonction (d’après le théorème 2), f est la fonction exponentielle. Par suite, pour tout réel x, 1 exp(y) × exp(x + y) = exp(x) ou encore exp(x + y) = exp(x) × exp(y). 2) Le nombre e. Changement de notation On pose e = exp(1) = 2,718.... (fourni par la calculatrice). On a donc exp(1) = e = e1 et aussi exp(0) = 1 = e0. Poursuivons. exp(2) = exp(1 + 1) = exp(1) × exp(1) = e × e = e2 (avec e2 = 7,389 ... (fourni par la calculatrice)) puis exp(3) = exp(2 + 1) = exp(2) × exp(1) = e2 × e = e3. Plus généralement, une démonstration par récurrence permet de prouver que pour tout entier naturel n, exp(n) = en. Si n est un entier relatif strictement négatif, le théorème 1 fournit exp(n) × exp(−n) = 1 et donc exp(n) = 1 exp(−n) = 1 e−n = en (puisque −n > 0, exp(−n) = e−n). Donc, pour tout entier relatif, exp(n) = en. A partir de ce qui précède et pour d’autres raisons que l’on ne connaît pas en terminale, on décide de poser pour tout réel x, exp(x) = ex. On se permet donc maintenant d’avoir un exposant réel et plus uniquement un exposant entier. On a donné un sens à des nombres comme e0,1 ou eπ. Mais eπ ne s’interprète plus en disant que l’on a écrit un produit de π facteurs tous égaux à e car π n’est pas un entier. 3) Propriétés algébriques de la fonction exponentielle Théorème 4. 1) Pour tous réels x et y, ex+y = ex × ey. 2) Pour tout réel x, ex ≠0 et 1 ex = e−x. 3) Pour tous réels x et y, ex−y = ex ey . 4) Pour tout réel x et tout entier relatif n, (ex)n = enx. © Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 2 http ://www.maths-france.fr Démonstration. 1) est déjà connu à partir du théorème 3. 2) est aussi déjà connu à partir du théorème 1 mais nous préférons le déduire de la relation fondamentale 1). Soient x et y deux réels. ex−y × ey = ex−y+y = ex et donc, puisque ey ≠0, ex−y = ex ey . En particulier, e−x = e0−x = e0 ex = 1 ex . Soit x un réel. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, (ex)n = enx. • Pour n = 0, (ex)0 = 1 = e0×x. La formule est donc vraie quand n = 0. • Soit n ⩾0. Supposons que (ex)n = enx et montrons que (ex)n+1 = e(n+1)x. (ex)n+1 = (ex)n × ex = enx × ex (par hypothèse de récurrence) = enx+x = e(n+1)x. On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, (ex)n = enx. Soit maintenant n un entier relatif strictement négatif. Alors −n est un entier naturel strictement positif et donc (ex)n = 1 (ex)−n = 1 e−nx = enx. On a montré que pour tout entier relatif n, (ex)n = enx. Exercice 1. 1) Simpliﬁer l’expression (ea)2 × ea e4a . 2) Simpliﬁer les expressions (ex + e−x)2 −(ex −e−x)2 et (ex + e−x)2 + (ex −e−x)2. Solution. 1) Soit a un réel. (ea)2 × ea e4a = e2a × ea e4a = e2a+a−4a = e−a. 2) Soit x un réel. (ex + e−x)2 −(ex −e−x)2 = ((ex)2 + 2 × ex × e−x + (e−x) 2) −((ex)2 −2 × ex × e−x + (e−x) 2) = 2e0 + 2e0 = 4, et (ex + e−x)2 + (ex −e−x)2 = (ex)2 + 2 × ex × e−x + (e−x) 2 + (ex)2 −2 × ex × e−x + (e−x) 2 = e2x + 2 + e−2x + e2x −2 + e−2x = 2 (e2x + e−2x). III. Propriétés analytiques de la fonction exponentielle 1) Sens de variation de la fonction exponentielle Théorème 5. La fonction exponentielle est strictement positive sur R. Démonstration 1. On sait que e0 = 1 et en particulier, e0 > 0. On sait aussi que la fonction exponentielle ne s’annule pas sur R d’après le théorème 1. Supposons par l’absurde que la fonction exponentielle prenne une valeur strictement négative en un certain réel a (donc ea < 0 et e0 > 0). Puisque la fonction exponentielle est continue sur R (car dérivable sur R), le théorème des valeurs intermédiaires permettrait d’aﬃrmer que la fonction exponentielle uploads/S4/ la-fonction-exponentielle.pdf