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www.matheux.be.tf - ANA 24 - 1 - Exercices résolus de mathématiques. ANA 24 EXA

www.matheux.be.tf - ANA 24 - 1 - Exercices résolus de mathématiques. ANA 24 EXANA240 – EXANA249 http://www.matheux.be.tf Jacques Collot Benoit Baudelet – Steve Tumson Novembre 08 www.matheux.be.tf - ANA 24 - 2 - EXANA240 – FACS – ULBL – Bruxelles, septembre 08. L’arête latérale d’un cône circulaire droit mesure 15 cm. Pour quelle valeur du rayon de la base le volume de ce cône est-il maximum ?       2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 3 1 1 or sin et cos sin cos 3 3 Ce volume sera maximum si la dérivée est nulle. 1 1 sin cos sin cos 3 3 sin cos 2sin cos sin sin 0 2sin cos sin 0 1) si V r h r g h g V g dV d d g g d d d d d                                       2 2 2 2 2 2 n 0 0 Solution triviale. 1 2) 2cos sin 0 2cos 1 cos 0 cos 3 cos Soit un angle de 54.7° 3 Le rayon de la base est donc : sin 15 1 5 6 3 1 le volume du cône est alors de : 3 r g cm V                            2 3 3 3 15 1 1360 3 54.7° 0 On vérifie facilement qu'il s'agit bien d'un maximum : 54.7° 0 cm dV d dV d                                 21 novembre 08. www.matheux.be.tf - ANA 24 - 3 - EXANA241 – FACS – ULBL – Bruxelles, septembre 08. 3 3 3 4 4 4 3 3 3 4 4 4 Calculer ) sin4 ) sin4 ) sin 4 a x dx b x dx c x dx                  3 4 3 1 4 1 3 3 3 4 4 4 3 3 3 1 4 4 4 2 a) sin 4 Sans faire de calcul, nous pouvons directement affirmer que = 0, puisque sin 4 est une fonction impaire. Vérifions : 1 1 sin 4 sin 4 4 cos4 0 4 4 b) I x dx I f x x I x dx x d x x I                           3 3 3 12 4 12 3 0 0 4 3 4 3 3 4 3 12 3 0 1 sin 4 6 sin 4 6 cos4 4 3 cos cos0 3 2 c) sin 4 Nous voyons sur le graphique ci-dessous que sin 4 est une fonction paire et que 2 sin 4 1 x dx x dx x I x dx f x x I x dx                               www.matheux.be.tf - ANA 24 - 4 - 21 novembre 08. www.matheux.be.tf - ANA 24 - 5 - EXANA242 – EPL, UCL, Louvain, septembre 08. a) Soit la surface délimitée par la courbe cos , l'axe des abscisses et les droites verticales 1et 0. Calculez le volume du solide de révolution engendré par la rotation de cette surface autour y x x x    de l'axe des abscisses.   /4 2 0 3 0 b) Calculer l'intégrale définie sin(tan ) cos c) Calculer la limite sin lim d) Soit la fonction définie par 1 lorsque 0 ( ) sin lorsque 0 Etudier la dérivabilité de la fonction en t x dx x t t t f x f x x x x            0 x  Solution proposée par Steve TUMSON         1 1 2 0 0 /4 /4 /4 2 0 0 0 3 2 0 0 a) 1 1 cos sin(2 ) 1 sin(2) 2,285 2 2 2 2 b) sin(tan ) sin(tan ) tan cos(tan ) cos(1) 1 0,46 cos c) sin cos 1 0 0 lim lim li 0 3 0 HOSPITAL HOSPITAL t t V x x x x dx x d x x x t t t t t                                        0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 sin 1 sin 1 m lim 6 6 6 d) 0 lorsque 0 ( ) cos sin lorsque 0 ( ) cos sin cos sin sin 0 cos lim lim lim lim lim lim 0 0 2 ( lim t t HOSPITAL x x x x x x x t t t t x df x x x x dx x x df x x x x x x x x dx x x x x x df x                               ) 0 La fonction est dérivable en 0 dx x           21 décembre 08. www.matheux.be.tf - ANA 24 - 6 - EXANA243 – EPL, UCL, Louvain, septembre 08.     2 2 Soit la fonction ( ) ln définie partout sauf en 0, et la courbe du plan définie par ( ) 1) Etudier la parité de la fonction. Possède-t-elle des asymptotes ? Quelle valeur faudrait-il lui do f f x x x x C y f x    1 2 nner pour qu'elle soit continue en 0 ? 2) Etudier le domaine de croissance/décroissance de la fonction, ainsi que son domaine de concavité vers le haut/bas. : 0,35 0,15 3) Représenter soi x Note e et e        2 2 2 gneusement la courbe et indiquer les points remarquables. 4) Sans effectuer de nouvelle étude de foncton, esquissez le graphe des trois fonctions suivantes : 1 ( ) 2 ln ( ) ln ln( 3 C x g x x h x x x                    2 2 9) ( ) 4 ln k x x x  Solution proposée par Steve TUMSON                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 / 0 / 0 / 1) Parité : ( ) ( ) ln ln ( ) La fonction est impaire, nous pouvons donc l'étudier uniquement pour le domaine 0 Asymptotes : ln 4ln / * AV : lim ln lim lim 1/ 1 H x x x f x x x x x f x x x x x x x x                    2 2 2 0 / 0 / 0 / 4ln 8 / lim lim lim 8 0 / 1/ 1/ Pas d'asymptote verticale. On peut cependant répondre à la question suivante : pour que la fonction soit continue en 0, il faudrait lui donn H x x x x x x x x x x                  2 2 er la valeur 0 ( , ...) ( ) * AH/AO : lim lim ln Pas d'asymptote horizontale ni oblique x x y résultat attendu la fonction étant impaire f x y kx t k x x          www.matheux.be.tf - ANA 24 - 7 -                         2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2) Rappelons que la fonction est ici étudiée uniquement pour 0 (voir parité) ( ) ln 4ln ln ln 4 ( ) 0 ln 0 1 1 ln 4 0,15 4 ln uploads/S4/ ana-24.pdf