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https://techyam2.blogspot.com 2Bac Sc.SM https://techyam2.blogspot.com Bac Internationale Devoir n°2 2Bac Sciences Maths Internationale Exercice 1 ( 7 Pts ) Soient f et g les deux fonctions définies par: (∀x > 0) f(x) = ex −ln x et (∀x > 0) g(x) = ex −1 x 1 a Étudier les variations de f et g (1pt) b Démontrer qu’il existe une unique réelle α tel que 1 2 < α < 1 (1pt) c Montrer que: f ( 1 α ) = g ( 1 α ) (1pt) 2 Résoudre l’inéquation: (x ∈R∗ +) f(x) −g(x) < 0 (1pt) 3 a Tracer (Cf) et (Cg) dans un repère orthonormé (O, i, j); (α ≃0, 7) (2pts) b Calculez la surface de l’espace compris entre la Courbe (Cf) et les droites x = 1 et x = 2 (1pt) Exercice 2 ( 7 Pts ) On pose J = π ∫ π 2 sin x x dx et on considère la fonction F (x) = x ∫ π 2 sin t t dt tel que x ∈ [π 2 , π ] et la fonction G (x) = x ∫ 0 sin πt 1 −t dt tel que x ∈ [ 0, 1 2 ] 1 a Montrer que ∀x ∈ [ 0, 1 2 ] G (x) = F (π) −F (π (1 −x)) (1pt) b En déduire que: J = 1 2 ∫ 0 sin πt 1 −t dt (1pt) 2 On considère la suite: (un)n≥0 définie par: un = 1 2 ∫ 0 tn sin (πt) dt a Montrer que: J = u0 + u1 + ... + un−1 + Rn tel que Rn = 1 2 ∫ 0 tn sin (πt) 1 −t dt (1pt) b Montrer que: ∀t ∈ [ 0, 1 2 ] tn sin (πt) 1 −t ≤2tn (1pt) c Montrer que: J = lim n→+∞(u0 + u1 + ... + un−1) (1pt) 3 a Calculer: u0 et u1 (1pt) b Montrer que: un = 1 π2 ( n 2n−1 −n(n −1)un−2 ) (1pt) Exercice 3 ( 6 Pts ) On considère l’ensemble E = { M (x, y) = ( x y −y x + y ) / (x, y) ∈R2 } et I = ( 1 0 0 1 ) 1 Montrer que: (E, +, ×) corps commutatif. (1pt) https://techyam2.blogspot.com page 1 https://www.facebook.com/techyam https://techyam2.blogspot.com 2Bac Sc.SM https://techyam2.blogspot.com Bac Internationale 2 Soit z0 = α + βi tel que (α, β) ∈R × R∗On considère l’application f : E →C M (x, y) 7→x + yz0 a Vérifier que f est un homomorphism de (E, +) sur (C, +) (1pt) b Déterminer z0 tel que f est un homomorphism de (E, ×) sur (C, ×) (1pt) 3 a Déterminer la matrice J tel que (I, J) est une base de (E, +, ×) (1pt) b Montrer que (E, +, ×) est une espace vectoriel réel, donner sa dimension. (1pt) 4 On pose G = {Jn/n ∈N}, Montrer que (G, ×) groupe commutatif. (1pt) https://techyam2.blogspot.com page 2 https://www.facebook.com/techyam uploads/S4/ devoir-2-fr.pdf