Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

U.S.T.H.B. Faculté DE Génie Mécanique ET de Génie des Procédés Filière : Génie

U.S.T.H.B. Faculté DE Génie Mécanique ET de Génie des Procédés Filière : Génie des Procédés MASTER 1 FC CHAPITRE II ECOULEMENTS UNIDIMENSIONNELS DE FLUIDES COMPRESSIBLES II- 1 Définition • Soit un écoulement stationnaire dans un conduite quelconque: • X • • S • X’ Les variables de l’écoulement que sont la pression P, la • température T, la masse volumique ρ et la vitesse V sont • considérées instables dans une section droite du tube de courant (voir sch. L’écoulement est considéré comme unidimensionnel si les conditions suivantes sont réalisées: a) La section doit varier lentement le long de l’axe X’X de la conduite. b) L’ axe X’X de la conduite a une faible courbure. c) Dans le cas d’un écoulement visqueux, la vitesse au niveau de la paroi est nulle. Le profil des vitesses dans une section droite n’est pas uniforme. On prend la vitesse moyenne et on considère l’écoulement comme non visqueux. En dynamique des gaz et pour résoudre le problème des écoulements et trouver des relations entre les différents paramètres inconnus et les conditions aux limites, on applique les équations de Base. II-2. Equation de continuité Elle exprime la conservation de la masse d’une particule de fluide traversant plusieurs sections différentes, la masse qui entre doit être égale à la masse qui sort sans ajouter ou enlever de la matière entre l’entrée et la sortie. 2.1. Cas particulier Soit un écoulement stationnaire unidimensionnel dans une canalisation à section variable. Les variables de l’écoulement sont égales et constantes dans une section droite de la conduite. S2 Entre 2 sections différentes S1 et S2 Le débit massique qui les traverse est S1 donné par : V1 V2 qm = ρ1S1 V1 = ρ2S2 V2=Cte II.1 Dans n’importe quelle section de la conduite on peut définir le débit massique qui la traverse: qm = ρS V [kg/s] II.2 C’est l’équation de continuité d’un écoulement unidimensionnel dans une section droite S de la conduite où la vitesse est V et la masse volumique est ρ. Dans le cas d’un écoulement incompressible, la masse volumique ρ est constante et la même dans toutes les sections , dans ce cas on peut utiliser le débit volumique au lieu du débit massique: qv = V.S [m3/s] II.3 EXEMPLE • Soit un écoulement stationnaire unidimensionnel (permanent) dans une conduite à section variable. A l’entrée de la conduite la vitesse est 10m/s, trouver la vitesse à la sortie de la conduite si la section se double. L’écoulement est supposé incompressible. qv = V1.S1 = V2.S2 V2 = S1 /S2 . V1 = 0,5 V1 = 5m/s Si la section est réduite à S2 = S1 /2 V2 = 2 V1 = 20m/s 2.2 Cas générale Conservation de la masse (écoulement stationnaire qm = ρ A V) Pour obtenir une formulation plus générale de l’équation de continuité, considérons un volume V de surface extérieure S fixe dans l’écoulement. La masse contenue dans le volume V est donné par: Mv = ∫v ρdv II.4 V n z La masse qui entre, respectivement sort S dS de la surface S est telle que: y MS = ∫v ρ(V.n )dS II.5 x Cette différence est donc égale à la variation locale de la masse à l’intérieur du volume V qui peut être calculée en utilisant II.4 , l’écoulement est considéré ici comme instationnaire, soit: dMV /dt = ∫v ∂ρ/∂t.dv II.6 Cas générale On aura donc : ∫v ∂ρ/∂t.dv + ∫s ρ(V.n )dS = 0 II. 7 Cette équation exprime l’énoncé de la conservation de la masse sous forme intégrale. Dans le cas d’un écoulement stationnaire le premier terme est nul. Si en plus il est unidimensionnel , avec l’intégration de l’équation II.7 on retrouve l’équation II. 2 . Pour obtenir l’équation de continuité sous forme différentielle, on doit transformer l’intégrale de surface en une intégrale de volume en utilisant le théorème de Gauss: ∫s V.n dS = ∫v (ѴV)dv donc ∫s ρ(V.n) dS = ∫v div(ρ V)dv II.8 On remplace dans II. 7 → ∫v [∂ρ/∂t.+ div(ρ V)]dv = 0 II.9 Comme V est un volume arbitraire alors: ∂ρ/∂t.+ div(ρ V) = 0 II.10 Cette équation représente l’énoncé de continuité sous la forme différentielle d’un écoulement compressible instationnaire. II.10 s’écrit aussi : ∂ρ/∂t+ ∂ρu/∂x+ ∂ρv/∂y+ ∂ρw/∂z = 0 II.11 II.3 Equation de quantité de mouvement • La quantité de mouvement d’une particule fluide: I = mV II.12 • La variation de la quantité de mouvement doit être égale à la résultante de toutes les Forces agissantes sur la masse considérée. Dans le cas d’un corps de volume V, la quantité de mouvement totale est telle que: IV = ∫V ρvdv II.13 Le taux de variation total de cette équation est égal à la quantité de mouvement de la masse qui entre ou qui sort à travers la surface extérieure S augmenté du taux de variation local: IS = ∫s ρ(V.n)V dS II.14 IV = ∫V (∂ρV/∂t).dv II.15 Donc: ∫V (∂ρV/∂t).dv + ∫s ρ(V.n)V dS = ∑F II.16 Quantité de mouvement sous la forme intégrale. Les forces qui peuvent accélérer le fluide dans le volume V sont les forces massiques et les forces de surfaces. Une force massique s’écrit: Fm = ∫v ρgdv II.17 Une force surfacique pour un fluide idéal (forces de viscosité négligées): FS = - ∫S Pnds II.18 P est la pression exercée sur la surface du volume de contrôle. Elle a le sens contraire du vecteur unitaire. II.3- Equation de quantité de mouvement II.16 prend une autre forme : ∫V (∂ρV/∂t).dv + ∫s ρ(V.n)V dS = ∫v ρgdv - ∫S Pnds II.19 C’est l’équation générale sous la forme intégrale du théorème de la quantité de mouvement pour un fluide réel. V2 P2 Exemple: Conduite à section variable déviée d’un n2 angle θ. Soit un écoulement stationnaire V1 incompressible dans une P1 conduite à section variable. n1 Calculer les réactions de la conduite θ sur l’écoulement (on néglige la 0 x pesanteur) Appliquez l’équation II.19 à un volume de contrôle dans le fluide proche de la paroi et qui comprend les 2 sections d’entrée et de sortie (ligne en discontinu). Le premier terme est nul puisque l’écoulement est stationnaire. Au niveau de la paroi la vitesse est perpendiculaire au vecteur unitaire donc V.n = 0 La projection sur l’axe horizontal 0x donne: Exemple ∫S1 ρ(-V1)V1 dS1 + ∫S2 ρ(V2)V2 cos θ dS2 = -∫s1P1(-1) dS1 -∫s2P2cos θ dS2 +Rx La réaction Rx traduit l’effet de la pression de la surface latérale sur le volume de contrôle qui est le terme: Rx = ∫sP n dS d’où RX = ρ V22 S2 cos θ - ρ V21 S1 –P1S1 + P2S2 cos θ La 2ème projection sur l’axe 0y donne: Ry = ρ V22 S2 sin θ + P2S2 sin θ (dirigée vers le haut pour 0≤θ ≤ π) - Les réactions sont les forces de pression exercées par la paroi de la conduite sur le volume de contrôle en discontinu. Pour avoir une forme différentielle de l’équation II.19 , on doit transformer les intégrales surfaciques en intégrales volumiques(Gauss). Le dernier terme de II.19 s’écrit: ∫sP n dS = ∫s grad(P) dv II.20 Par contre pour le 2ème terme, le théorème de Gauss ne peut être appliqué directement. On projette la vitesse sur les 3 axes, puis on applique le théorème. Après sommation et en utilisant l’équation de continuité on a: ∂V/∂t + Vgrad V = g – 1/ρ grad P II.21 Elle représente l’équation différentielle d’un écoulement idéal de l’équation de la quantité de mouvement. Ce sont les équations d’Euler. Cas particuliers: • Pour un écoulement stationnaire le 1er terme est nul. II.21 devient u∂V/∂x+ v∂V/∂y+ w∂V/∂z = g – 1/ρ grad P II.22 Elle peut être projetée sur les 3 axes x, y, z. Si l’écoulement est en plus unidimensionnel et dans le cas d’un gaz, II.22 devient u∂u/∂x + 1/ρ dP/dx = 0 II.23 Cette équation est plus utilisée en dynamique des gaz lorsque l’écoulement est supposé unidimensionnel et sans force massique ou en apesanteur. II.4 Equation de l’énergie • L’application de la conservation de l’énergie va nous permettre d’établir une relation entre les phénomènes mécaniques et thermiques. On prend le cas d’un écoulement compressible unidimensionnel. Soit un écoulement le long d’un tube de courant: Ecoulement unidimensionnel .Les particules fluides qui traversaient à l’instant « t » la section S1 traversent à l’instant « t+dt » la section S’1 . ..Si l’écoulement est stationnaire la masse dm entre V2 S1 et S’1 est la même que celle entre S2 et S2’ S2 S2’ Les variations d’énergie interne, cinétique et de pesanteur de cette masse de fluide pendant dt sont: S1 S’1 (U2-U1)dm; ½(V22 –V12)dm; g(z2-z1)dm V1 dW+dq II.24 Soient dW et dq respectivement le travail des forces de con- contact extérieures et la quantité de chaleur algébriquement reçu pendant le temps dt par la masse de fluide contenue dans le volume compris entre S1 et S2 (t) l’équation d’énergie s’écrit alors: II.4 Equation de l’énergie • (U2 -U1)dm ; ½ (V22 –V12 )dm ; et g(z2 uploads/s3/ fluides-compressibles-cours-2.pdf