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ENCG AGADIR 2019-2020 1 ProbabiLitéS et StatiStiqueS SemeStre 3 LeS variabLeS a

ENCG AGADIR 2019-2020 1 ProbabiLitéS et StatiStiqueS SemeStre 3 LeS variabLeS aLéatoireS diScrèteS Plan du chapitre Introduction I. Généralités sur les variables aléatoires discrètes II. Caractéristiques des variables aléatoires discrètes 1. Loi de probabilité 2. Fonction de Répartition 3. Variable aléatoire et loi de probabilité à 2 dimensions 4. Espérance mathématique E(X) 5. Variance V(X) 6. Ecart-type VI. Lois discrètes usuelles 1. Loi de Bernoulli (p) 2. Loi Binomiale (n,p) 3. Loi Hypergéométrique H (N, n, Np) 4. Loi de Poisson P (λ) ENCG AGADIR 2019-2020 2 Introduction Une variable aléatoire, notée V.A. n’est autre qu’une grandeur numérique attachée au résultat d’une expérience aléatoire. Chacune de ses valeurs est associée à une probabilité d’apparition. A un ensemble Ω d'événements élémentaires : {e1, ... , ei, ... , en}, faisons correspondre un nombre X prenant l'une des valeurs : x1, …,xi,…,xn, lorsque l'événement élémentaire correspondant se réalise. Le nombre X est appelé variable aléatoire. ENCG AGADIR 2019-2020 3 Introduction Une variable aléatoire est définie si l'on connait les probabilités : p(x1), ... , p(xi), ... , p(xn) correspondant aux différentes valeurs possibles de X. Ces probabilités sont évidemment telles que : La correspondance est appelée : loi de probabilité (ou distribution de probabilité) de la variable aléatoire X. ENCG AGADIR 2019-2020 4 1 ) p(x ... ) p(x ... ) p(x n i 1         i i x p x , Généralités sur les variables aléatoires discrètes Si X(Ω) est fini ou dénombrable, X est dite V.A. discrète (VAD). Une variable aléatoire discrète est une application de Ω dans ℤ (ensemble des entiers relatifs). Remarque Les valeurs prises par une variable aléatoire discrète peuvent être des couples voire même des triplets, des quadruplets, etc. Dans le cas où la VAD a des valeurs sous forme de triplets, alors elle est une application de Ω dans ℤ3. ENCG AGADIR 2019-2020 5 Loi de probabilité On appelle Loi de Probabilité d’une variable aléatoire discrète, la donnée, pour chaque valeur xi prise par X, de la Probabilité de l’événement (X= xi), notée pi : P(X= xi )=pi . Remarque Si X(Ω) est fini alors Si X(Ω) est dénombrable infini alors ENCG AGADIR 2019-2020 6    n i i p 1 1     1 1 i i p Généralités sur les variables aléatoires discrètes Exemple 1: Soit une urne contenant des boules blanches et des boules rouges. On tire, au hasard, une boule dans l'urne, et on considère les deux événements élémentaires : e1 : la boule est blanche e2 : la boule est rouge. Attachons à e1 et e2 un nombre X qui prend la valeur X=0 si e1 est réalisé, et la valeur X=1 si c'est e2. Alors X est une variable aléatoire discrète, dont la loi de probabilité est donnée par les deux probabilités : p(X=0) et p(X=1) Avec p(X=0) + p(X=1) = 1 ENCG AGADIR 2019-2020 7 Généralités sur les variables aléatoires discrètes Propriétés La VA est définie par les propriétés suivantes : ENCG AGADIR 2019-2020 8 Généralités sur les variables aléatoires discrètes           k n i i k n i i i i x P x P x P x P x X P x P x P X x                   ... 1 1 ; 0 , 2 1 1 1 Exemple 2: Dans le cas d’une pièce de monnaie. X est la variable aléatoire qui prend 1 si Pile et 0 si Face. Alors, p(X=1) =1/2 et p(X=0)=1/2 et p(X=1) + p(X=0) = 1 ENCG AGADIR 2019-2020 9 Généralités sur les variables aléatoires discrètes V.A L.P Evénements X p(x) Pile 1 0,5 Face 0 0,5 Exemple 3: On lance deux fois une pièce de monnaie. On définit la variable aléatoire X par le nombre de faces obtenues pendant les deux jets p(X=0) + p(X=1) +p(X=2) = 1 ENCG AGADIR 2019-2020 10 Généralités sur les variables aléatoires discrètes V.A L.P Evénements X p(x) PP 0 1/4 PF 1 1/2 FP 1 FF 2 1/4 } Remarque La représentation graphique d’une VAD est un diagramme en bâtons ENCG AGADIR 2019-2020 11 Généralités sur les variables aléatoires discrètes Remarque La loi de probabilité d’une variable aléatoire peut être représentée dans un tableau qui contient les valeurs de l’univers image et les probabilités qui leur correspondent. ENCG AGADIR 2019-2020 12 Généralités sur les variables aléatoires discrètes Ω E1 E2 E3 … Ek X(Ω) x1 x2 x3 … xk P(X=xi) ou P(xi) p(x1) p(x2) p(x3) … p(xk) 1 Application 1 On jette deux dés et on s’intéresse à la somme des nombres figurant sur les dés. TAF 1. Définir Ω 2. Définir la V.A. X 3. Présenter le tableau de la loi de probabilité correspondant 4. Présenter le graphique correspondant ENCG AGADIR 2019-2020 13 Généralités sur les variables aléatoires discrètes Application 1 : solution 1- Ω l’univers de l’expérience : jet de deux dés simultanément. Ω² = Ω × Ω où Ω = {1,2,3,4,5,6} Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), ...,(6,4), (6,5), (6,6)} Card(Ω) = 6 × 6 = 36 ENCG AGADIR 2019-2020 14 Généralités sur les variables aléatoires discrètes Application 1 : solution 2- X est définie comme la somme des nombres affichés sur les dés après leur jet. Ainsi X= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} ENCG AGADIR 2019-2020 15 Généralités sur les variables aléatoires discrètes 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Application 1 : solution 3- ENCG AGADIR 2019-2020 16 Généralités sur les variables aléatoires discrètes Ω (1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1) (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (2,6) (3,4) (4,3) (5,3) (6,2) (3,6) (4,5) (5,4) (6,3) (4,6) (5,5) (6,4) (5,6) (6,5) (6,6) X(Ω) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=xi) ou P(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1           12 2 1 36 1 36 2 ... 36 3 36 2 36 1 i i x P Application 1 : solution 4- le graphique correspondant ENCG AGADIR 2019-2020 17 Généralités sur les variables aléatoires discrètes Caractéristiques des variables aléatoires discrètes Fonction de Répartition Définition : On définit la Fonction de Répartition F d’une variable aléatoire X comme étant la fonction : F nous permet de définir la loi de probabilité de X ENCG AGADIR 2019-2020 18      x X P x F x R F     1 ; 0 : Caractéristiques des variables aléatoires discrètes Fonction de Répartition Propriétés ENCG AGADIR 2019-2020 19 VA) la de valeur grande plus la est (x 1 = ) x > P(X = ) x > F(X 1 = ) P(x + ... + ) P(x + ) P(x = ) x P(X = ) F(x ) P(x + ) P(x = ) x P(X = ) F(x ) P(x = ) x P(X = ) F(x VA) la de valeur petite plus la est (x 0 = ) x < P(X = ) x < F(X k k k k 2 1 k k 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1          Caractéristiques des variables aléatoires discrètes Fonction de Répartition Reprenant l’exemple 3 On lance deux pièces de monnaie. Soit l’univers Ω ={(p,p) ; (p,f) ; (f,p) ; (f,f)} muni de P(Ω) Soit X la VA qui vaut 0 si on obtient (p,p), 1 si on obtient (p,f) ou (f,p) et 2 si on obtient (f,f). On a : X(Ω)={0,1,2}. Alors ENCG AGADIR 2019-2020 20 Ω (p,p) (p,f) (f,p) (f,f) X(Ω) 0 1 1 2 P(X=xi) ou P(xi) 1/4 1/4 1/4 1/4 1 Caractéristiques des variables aléatoires discrètes Fonction de Répartition Reprenant l’exemple 3 La fonction de répartition est de : ENCG AGADIR 2019-2020 21                    2 1 2 1 4 3 1 0 4 1 0 0 x si x si x si x si x F Caractéristiques des variables aléatoires discrètes Variable aléatoire et loi de probabilité à 2 dimensions Soient X et Y deux variables aléatoires définis sur E. Si à chacune des valeurs possibles des couples (x,y), on associé la probabilité de l’événement correspondant, alors on obtient la loi de probabilité conjointe des VA X et Y ou loi de VA à deux dimensions. ENCG AGADIR 2019-2020 22 Caractéristiques des variables aléatoires discrètes Variable aléatoire et loi de probabilité à 2 dimensions Fonction de distribution de probabilités jointes : Dans le cas bivarié, il s’agit de définir la fonction uploads/s3/ chapitre-4-variables-al-atoires-version-3.pdf