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FIIFO 3 PROBABILITES - STATISTIQUES J-P LENOIR CHAPITRE 3 Page 37 PRINCIPALES D

FIIFO 3 PROBABILITES - STATISTIQUES J-P LENOIR CHAPITRE 3 Page 37 PRINCIPALES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS INTRODUCTION De nombreuses situations pratiques peuvent être modélisées à l’aide de variables aléatoires qui sont régies par des lois spécifiques. Il importe donc d’étudier ces modèles probabilistes qui pourront nous permettre par la suite d’analyser les fluctuations de certains phénomènes en évaluant, par exemple, les probabilités que tel événement ou tel résultat soit observé. La connaissance de ces lois théoriques possède plusieurs avantages sur le plan pratique : • Les observations d’un phénomène particulier peuvent être remplacées par l’expression analytique de la loi où figure un nombre restreint de paramètres (1 ou 2, rarement plus). • La loi théorique agit comme modèle (idéalisation) et permet ainsi de réduire les irrégularités de la distribution empirique. Ces irrégularités sont souvent inexplicables et proviennent de fluctuations d’échantillonnage, d’imprécision d’appareils de mesure ou de tout autre facteur incontrôlé ou incontrôlable. • Des tables de probabilités ont été élaborées pour les lois les plus importantes. Elles simplifient considérablement les calculs. Ce cours présente trois distributions discrètes : la distribution binomiale, la distribution géométrique et la distribution de Poisson. Puis il aborde deux distributions continues : la distribution exponentielle et la distribution normale. Il importe de bien comprendre quelles sont les situations concrètes que l’on peut modéliser à l’aide de ces distributions. Viennent enfin trois distributions théoriques dont la fonction n’est pas de modéliser mais de servir d’outils dans les problèmes d’estimation et de test. 1. DISTRIBUTION BINOMIALE ( distribution discrète finie) 1.1. VARIABLE DE BERNOULLI OU VARIABLE INDICATRICE 1.1.1. Définition : Une variable aléatoire discrète qui ne prend que les valeurs 1 et 0 avec les probabilités respectives p et q = 1- p est appelée variable de BERNOULLI. Exemple : Une urne contient deux boules rouges et trois boules vertes. On tire une boule de l’urne. La variable aléatoire X = nombre de boules rouges tirées est une variable de Bernoulli. On a : P(X = 1) = 2/5 = p P(X = 0) = 3/5 = q FIIFO 3 PROBABILITES - STATISTIQUES J-P LENOIR CHAPITRE 3 Page 38 Plus généralement, on utilisera une variable de Bernoulli lorsqu’on effectue une épreuve qui n’a que deux issues : le succès ou l’échec. Une telle expérience est alors appelée épreuve de Bernoulli. On affecte alors 1 à la variable en cas de succès et 0 en cas d’échec. 1.1.2. Distribution de probabilités x 0 1 f(x) = p(X = x) q p 1.1.3. Paramètres de la distribution E(X) = 0.q + 1.p = p. V(X) = E(X2) - E(X)2 = (02q + 12 p) - p2 = p - p2 = pq. E(X) = p V(X) = pq 1.2. DISTRIBUTION BINOMIALE 1.2.1. Situation concrète a) On effectue une épreuve de Bernoulli. Elle n’a donc que deux issues : le succès avec une probabilité p ou l’échec avec une probabilité q. b) On répète n fois cette épreuve. c) Les n épreuves sont indépendantes entre elles, ce qui signifie que la probabilité de réalisation de l’événement « succès » est la même à chaque épreuve et est toujours égale à p. Dans cette situation, on s’intéresse à la variable X = nombre de succès au cours des n épreuves. 1.2.2. Distribution de probabilités Appelons Xi les variables de Bernoulli associées à chaque épreuve. Si la ième épreuve donne un succès Xi vaut 1. Dans le cas contraire Xi vaut 0. La somme de ces variables comptabilise donc le nombre de succès au cours des n épreuves. On a donc : X = X1 + X2 + ..... + Xn . X peut prendre (n + 1) valeurs : 0,1,....., n. Cherchons la probabilité d’obtenir k succès, c’est-à-dire p(X = k ). ⇒ La probabilité d'avoir k succès suivis de (n-k) échecs est p q k n k − car ces résultats sont indépendants les uns des autres. FIIFO 3 PROBABILITES - STATISTIQUES J-P LENOIR CHAPITRE 3 Page 39 ⇒ La probabilité d'avoir k succès et (n-k) échecs dans un autre ordre de réalisation est toujours p q k n k −. Donc tous les événements élémentaires qui composent l’événement (X =k) ont même probabilité. FIIFO 3 PROBABILITES - STATISTIQUES J-P LENOIR CHAPITRE 3 Page 40 ⇒ Combien y en a-t-il? Autant que de façons d’ordonner les k succès par rapport aux (n-k) échecs ? Il suffit de choisir les k places des succès parmi les n possibles et les (n-k) échecs prendront les places restantes. Or il y a Cn k manières de choisir k places parmi n. Finalement, on obtient pour 0 ≤ ≤ k n : p(X = k) =Cn k p q k n k − On dit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p . On note : X ∼> B(n,p). Remarque : L'adjectif binomial vient du fait que lorsqu'on somme toutes ces probabilités, on retrouve le développement du binôme de Newton : p X k C p q p q n k k n k k n k n n ( ) ( ) = = = + = − = = ∑ ∑ 0 0 1 NB : La loi binomiale est tabulée en fonction des 2 paramètres n et p. 1.2.3. Paramètres descriptifs de la distribution Nous savons que : X = X1 +......+ Xn avec E (Xi) = p pour 1≤≤ i n. Donc : E(X) = E(X1) +......+ E(Xn) = np. Les variables Xi sont indépendantes et Var(Xi) = pq pour 1≤≤ i n. Donc : Var(X) = Var(X1) +.......+Var(Xn) = npq. E(X) = np Var(X) = npq σ(X) = npq Remarque : La formule donnant l’espérance semble assez naturelle. En effet, le nombre moyen de succès (qui correspond à la signification de l’espérance) est intuitivement égal au produit du nombre d’essais par la probabilité de réalisation d’un succès. 1.2.4. Propriétés de la distribution binomiale • Forme de la distribution binomiale La représentation graphique de la distribution de la loi binomiale est habituellement présentée sous la forme d’un diagramme en bâtons. Puisque la loi dépend de n et p, nous aurons diverses représentations graphiques si nous faisons varier n et/ou p comme c’est le cas pour les figures suivantes. FIIFO 3 PROBABILITES - STATISTIQUES J-P LENOIR CHAPITRE 3 Page 41 On peut effectuer plusieurs remarques à propos de ces diagrammes. a) La forme de la distribution est symétrique si p = 1/2, quelque soit n. b) Elle est dissymétrique dans le cas où p≠1/2. Si p est inférieur à 0.50, les probabilités sont plus élevées du côté gauche de la distribution que du côté droit (asymétrie positive). Si p est supérieur à 1/2, c’est l’inverse (asymétrie négative). c) La distribution tend à devenir symétrique lorsque n est grand. De plus, si p n'est pas trop voisin de 0 ou 1, elle s'approchera de la distribution de la loi normale que l'on verra plus loin dans ce chapitre. • Somme de deux variables binomiales Si X p Si X p Si X 1 1 2 2 1 2 B(n B(n et X sont indépendantes , ) , )      alors X1 + X2 ∼> B(n1 + n2 , p). Cette propriété s’interprète facilement: si X1 représente le nombre de succès en n1 épreuves identiques indépendantes et X2 en n2 épreuves indépendantes entre elles et FIIFO 3 PROBABILITES - STATISTIQUES J-P LENOIR CHAPITRE 3 Page 42 indépendantes des premières avec la même probabilité de succès que les premières, alors X1 + X2 représente le nombre de succès en n1+n2 épreuves identiques et indépendantes. FIIFO 3 PROBABILITES - STATISTIQUES J-P LENOIR CHAPITRE 3 Page 43 2. DISTRIBUTION GÉOMÉTRIQUE ( distribution discrète dénombrable) 2.1. SITUATION CONCRÈTE a) On effectue une épreuve de Bernoulli. Elle n’a donc que deux issues : le succès avec une probabilité p ou l’échec avec une probabilité q = 1 - p. b) On répète l’épreuve jusqu’à l’apparition du premier succès. c) Toutes les épreuves sont indépendantes entre elles, ce qui signifie que la probabilité de réalisation de l'événement « succès » est la même à chaque épreuve et est toujours égale à p. Dans cette situation, on s’intéresse à la variable X = nombre de fois qu’il faut répéter l’épreuve pour obtenir le premier succès. Remarque : On est donc dans les mêmes hypothèses que pour la loi binomiale, mais le nombre d’épreuves n’est pas fixé à l’avance. On s’arrête au premier succès. 2.2. DISTRIBUTION DE PROBABILITÉS L’ensemble des valeurs prises par X est : 1, 2, 3, ..... On cherche la probabilité d’avoir recours à n épreuves pour obtenir le premier succès : Ce succès a une probabilité de réalisation de p. Puisque c’est le premier, il a été précédé de (n-1) échecs qui ont chacun eu la probabilité q de se produire. Étant donné l’indépendance des épreuves, on peut dire que la probabilité de réalisation de (n-1) échecs suivis d’un succès est le produit des probabilités de réalisation de chacun des résultats. Donc : p(X = n) = qn-1p uploads/s3/ distr-proba.pdf