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1 Variables aléatoires continues Exercices Exercice 1 Soit ܥோ= [ 0 ,ܴ ] × [ 0 ,

1 Variables aléatoires continues Exercices Exercice 1 Soit ܥோ= [ 0 ,ܴ ] × [ 0 , ܴ ] et ܦோ= { ( ݔ , ݕ ) ∈ℝା ଶ tel que ݔଶ+ ݕଶ≤ܴଶ } 2°) Calculer, en fonction de ܴ, les intégrales doubles : ܫ= ඵ ݁ି ௫మି ௬మ ݀ݔ ݀ݕ ஽ ೃ ݁ݐ ܬ= ඵ ݁ି ௫మି ௬మ ݀ݔ ݀ݕ ஽ √ మ ೃ 3°) Exprimer ܭ= ඵ ݁ି ௫మି ௬మ ݀ݔ ݀ݕ ஼ ೃ en fonction de න ݁ି ௫మ ݀ݔ ோ ଴ 4°) Vérifier que : ܫ≤ܭ≤ܬ. 5°) En déduire න eି ୶మ dx ஶ ଴ Exercice 2 La fonction Gamma ( ou fonction eulérienne de première espèce ) est définie sur ℝା ∗ par : ( ݔ ) = න ݐ ௫ିଵ ݁ି௧ ݀ݐ ஶ ଴ La fonction Beta ( ou fonction eulérienne de deuxième espèce ) est définie sur ℝା ∗× ℝା ∗ par : (ݔ , ݕ) = නݐ௫ିଵ ଵ ଴ (1 −ݐ)௬ିଵ ݀ݐ 1°) Montrer que la fonction  converge. 2°) Soit x  ℝା ∗, Calculer ( ݔ+ 1 ) en fonction de ( ݔ ). 3°) En déduire ( ݊ )pour tout ݊∈ℕ∗. 4°) Calculer ൬ 1 2 ൰. 5°) Evaluer (3) ൬5 2൰ 6°) Evaluer les intégrales : (݅)න ݐ௔ ݁ି ௦ ௧ ݀ݐ ஶ ଴ (ݏ> 0) ; (݅݅)න √ ݐ ݁ ି௧య ݀ݐ ஶ ଴ ; (݅݅݅)න 3ିସ ௧మ ݀ݐ ஶ ଴ 7°) Montrer que (ݔ , ݕ) = (ݕ , ݔ) Université Mohamed V ENSET de Rabat FI GBM 2 8°) Montrer que (ݔ , ݕ) = (ݔ) (ݕ) (ݔ+ ݕ) ቆIndication ∶ calculer (ݔ) (ݕ) = ቆන ݑ ௫ିଵ ݁ି௨ ݀ݑ ஶ ଴ ቇቆන ݒ ௬ିଵ ݁ି௩ ݀ݒ ஶ ଴ ቇ et considérer le changement de variable : ൝ ݌= ݑ+ ݒ ݍ= ݑ ݑ+ ݒ ൱ 9°) Montrer que ൬ 1 2 , 1 2 ൰= π Exercice 3 Soit ܺ une variable aléatoire de densité de probabilités ݂ ௑(ݔ) = ቊ ܭ ( 1 −ݔ ) ଵ ଷ ݏ݅ ݔ∈[ 0 , 1] 0 ݏ݅ ݔ∉[ 0 ,1] 1°) Déterminer K. 2°) Donner la fonction de répartition ܨ ௑ de ܺ. 3°) Calculer ܲ( 0,5 < ܺ< 2 ) 4°) Calculer l’espérance mathématique de ܺ. 5°) Calculer la variance de ܺ. Exercice 4 Soit ܺ une variable aléatoire de densité de probabilités ݂ ௑(ݔ) = ൜ ܭ ݔଶ݁ିଶ ௫ ݏ݅ ݔ≥0 0 ݏ݅ ݔ< 0 1°) Déterminer K. 2°) Calculer ܲ( 0 < ܺ< 1 ) 3°) Calculer la fonction génératrice des moments ܯ௑ de ܺ. 4°) Calculer l’espérance mathématique de ܺ. 5°) Calculer la variance de ܺ. Exercice 5 Une puce se déplace aléatoirement à l'intérieur d'un cercle de centre O et de rayon ܴ. On note ܺ la variable aléatoire "distance de la puce au centre". Si on suppose que toutes les positions sont équiprobables. 1°) Donner la fonction de répartition ܨ ௑ de ܺ 2°) Donner la densité ݂ ௑ de ܺ. 3 Exercice 6 Soit X une variable aléatoire de densité de distribution : ݂ ௑( ݔ) = ൜ ߣଶ ݔ ݁ି ఒ ௫ ݏ݅ ݔ > 0 0 ݏ݅ ݔ≤0 Calculer la loi de ܻ= 1 ܺ Exercice 7 Soit ܺ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle ℰ( ߣ ) cᇱestà dire ݂ ௑( ݔ ) = ቄ 0 ݏ݅ ݔ< 0 ߣ ݁ିఒ ௫ ݏ݅ ݔ≥0 1°) Calculer la fonction de répartition de ܺ. 2°) Déterminer la densité de la variable aléatoire = √ܺ . 3°) Déterminer la densité des la variables aléatoires ܼ= ܺଶ. Exercice 8 Soit ܺ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle ℰ( ߣ ) ܺ peut etre par exemple la durée de vie d’un matériel électronique. cᇱest à dire ݂ ௑( ݔ ) = ቄ 0 ݏ݅ ݔ< 0 ߣ ݁ିఒ ௫ ݏ݅ ݔ≥0 1°) Trouver la fonction de répartition de ܺ 2°) Calculer ܧ( ܺ ), ݒܽݎ( ܺ ) et ܧ൫ ݁ ௜ ௧ ௑ ൯ 3°) Calculer ܲ( ܺ> ݔ+ ℎ / ܺ> ݔ ) = ܲ( ܺ> ℎ ) 4°) ܶݎ݋ݒ݁ݎ ݐଵ ଶ ݐ݈݁ ݍݑ݁ ܲ൬ܺ≥ݐଵ ଶ ൰= 1 2 Application La durée de vie, ܶ d’un moteur suit une loi exponentielle. On suppose que la durée de vie moyenne du moteur est de 5 ans. 1°) Donner la densité de ܶ. 2°) On suppose que 50% des clients ont été dépannés durant la garantie, calculer la durée de la garantie. 4 Exercice 9 1°) Soit ܽ un réel strictement positif et ݂ la fonction définie sur ℝ par : ݂( ݔ ) = ൜ ݁ି| ௫ | ݏ݅ −ܽ< ݔ≤ܽ 0 ݏ݅ ݊݋݊ Trouver ܽ pour que ݂ soit une densité de probabilité. 2°) Soit X une variable aléatoire de densité ݂ ௑ définie sur ℝ par : ݂ ௑( ݖ ) = ൜ ݁ି| ௫ | ݏ݅ −ܽ< ݔ≤ܽ 0 ݏ݅ ݊݋݊ 2-1°) Déterminer ܨ ௑, la fonction de répartition de ܺ. 2-2°) Soit ܻ= | ܺ |. Donner la fonction de répartition de ܻ. Exercice 10 Soient ܽ et ܾ deux réels tel que ܽ< ܾ et soit ܺ une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [ ܽ , ܾ ] de densité de probabilité : ݂ ௑( ݔ ) = ൝ 1 ܾ−ܽ ݏ݅ ݔ∈ [ ܽ , ܾ ] 0 ݏ݅ ݔ [ ܽ , ܾ ] 1°) Calculer la fonction de répartition de ܺ. 2°) Calculer ܧ( ܺ ) et ݒܽݎ( ܺ ). 3°) Calculer la fonction génératrice de ܺ. Exercice 11 Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée réduite ࣨ( 0 , 1 ), de densité de probabilité ߮( ݖ ) = 1 √2 ߨ ݁ିଵ ଶ ௭మ 1°) Calculer ܧ( ܼ ) et ݒܽݎ( ܼ ). 2°) Notons ߰௓ la fonction caractéristique de ߰௓( ݐ ) = ܧ൫ ݁ ௜ ௧ ௑ ൯. Trouver l’équation différentielle du 1er degré que vérifie ߰௓ et en déduire l’expression de ߰௓. 3°) Trouver la densité de ܺ= ߪ ܼ+ ߤ où ߤ∈ℝ , ߪ∈ℝା ∗ 4°) Calculer ܧ( ܺ ) et ݒܽݎ( ܺ ) et ߰௑. Exercice 12 Soit X une variable aléatoire de loi N( 0 , 1 ), calculer la loi de Y = X2. 5 Exercice 13 Soit ܺ et ܻ deux variables aléatoires indépendantes de densités ݂ ௑ et ݂ ௒ Montrer que la densité ܺ+ ܻ de est : ݂ ௑ା௒( ݖ ) = ݂ ௑∗݂ ௒( ݖ ) = න ݂ ௑( ݖ−ݐ )݂ ௒( ݐ ) ݀ݐ ାஶ ିஶ Indication : Considérer le changement de variable ቄ ݑ= ݔ+ ݕ ݒ= ݕ Exercice 14 ݂ ( ௑ ,௒ )( ݔ , ݕ ) = ቄ ݔ+ ݕ ݏ݅ ( ݔ , ݕ ) ∈[ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] 0 ݏ݅ ݊݋݊ 1°) vérifier que ݂ ( ௑ ,௒ ) est une densité de probabilité. 2°) Calculer ܧ( ܺ ܻ ). 3°) Donner ݂ ௑ et ݂ ௒. 4°) ܺ et ܻ sont elle indépendantes ? 5°) Calculer ܧ( ܺ ) et ܧ( ܻ ). 6°) Calculer ܿ݋ݒ( ܺ ܻ ). 7°) Calculer ܧ( ܺ / ܻ= ݕ଴) Exercice 15 X et Y deux variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de loi ܰ( ߤ , ߪଶ ). Trouver la loi de Z = X + Y Exercice 16 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi ܰ( ߤଵ , ߪଵ ଶ ) ݁ݐ ܰ( ߤଶ , ߪଶ ଶ ), calculer la loi de Z = X + Y. uploads/s3/ exercices-variables-aleatoires-continues-1-pdf-version-1.pdf