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Plaque représentant les équations de Maxwell au pied de la statue en hommage à

Plaque représentant les équations de Maxwell au pied de la statue en hommage à James Clerk Maxwell d'Edimbourg. Équations de Maxwell Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l'électromagnétisme, avec l'expression de la force électromagnétique de Lorentz. Ces équations traduisent sous forme locale différents théorèmes (Gauss, Ampère, Faraday) qui régissaient l'électromagnétisme avant que Maxwell ne les réunisse sous forme d'équations intégrales. Elles donnent ainsi un cadre mathématique précis au concept fondamental de champ introduit en physique par Faraday dans les années 1830. Ces équations montrent notamment qu'en régime stationnaire, les champs électrique et magnétique sont indépendants l'un de l'autre, alors qu'ils ne le sont pas en régime variable. Dans le cas le plus général, il faut donc parler du champ électromagnétique, la dichotomie électrique-magnétique étant une vue de l'esprit. Cet aspect trouve sa formulation définitive dans le formalisme covariant présenté dans la seconde partie de cet article : le champ électromagnétique y est représenté par un objet mathématique unique, le tenseur électromagnétique, dont certaines composantes s'identifient à celles du champ électrique et d'autres à celles du champ magnétique. Principes généraux Aspects historiques L'apport de Maxwell Mathématiques modernes Les héritiers de Maxwell Théorie de Maxwell-Lorentz dans le vide Équation de Maxwell-Gauss L'équation locale de Maxwell Le théorème de Gauss Équation de Maxwell-Thomson L'équation locale de Maxwell Introduction du potentiel-vecteur Équation de Maxwell-Faraday L'équation locale Forme intégrale : loi de Faraday Introduction du potentiel électrique Équation de Maxwell-Ampère L'équation locale de Maxwell Introduction du courant de déplacement Équation de conservation de la charge Caractère ondulatoire des champs électriques Invariance de jauge de la théorie Condition de jauge de Lorenz Solutions des équations du champ électromagnétique Résolution à partir des charges ponctuelles Solutions mathématiques des équations de Maxwell dans le vide. Introduction des charges électriques Solutions générales et causales des équations de Maxwell Quantification en électrodynamique classique Quelques erreurs habituelles Formulation covariante Géométrie de l'espace-temps de Minkowski Quadri-gradient Quadri-potentiel Quadri-courant Tenseur de Maxwell Équations de Maxwell sous forme covariante Équation de propagation pour le quadri-potentiel en jauge de Lorenz Exemple : les potentiels retardés Dans les milieux matériels Notes et références Voir aussi Bibliographie Cours Ouvrages d'introduction Ouvrages de références Aspects historiques Dictionnaires et encyclopédies Articles connexes Les équations de Maxwell sont un ensemble de quatre équations aux dérivées partielles du premier ordre et couplées : l'équation de Maxwell-Gauss décrit comment un champ électrique est généré par des charges électriques : le champ électrique est orienté des charges positives vers les charges négatives. Plus précisément, cette loi relie le flux électrique à travers n'importe quelle surface de Gauss fermée avec la charge électrique contenue dans le volume délimité par cette surface ; l'équation de Maxwell-flux énonce qu'il n'existe aucune « charge magnétique » (ou monopôle magnétique) analogue à une charge électrique. Au contraire, le champ magnétique est engendré par une configuration nommée dipôle, qui n'a pas de charge magnétique mais regroupe une charge positive et une charge négative reliées entre elles et inséparables. À titre d'exemple, cela permet de montrer que le flux magnétique total à travers n'importe quelle surface fermée est nul, ou que le champ magnétique est un champ solénoïdal ; l'équation de Maxwell-Faraday décrit comment la variation d'un champ magnétique peut créer (induire) un champ électrique. Ce courant induit est utilisé dans de nombreux générateurs électriques : un aimant en rotation crée un champ magnétique en mouvement, qui génère un champ électrique dans un fil conducteur à proximité ; Sommaire Principes généraux 1 1 1 2 1 l'équation de Maxwell-Ampère énonce que les champs magnétiques peuvent être générés de deux manières : par les courants électriques (c'est le théorème d'Ampère) et par la variation d'un champ électrique (c'est l'apport de Maxwell sur cette loi). Cette « correction » de Maxwell du théorème d'Ampère est particulièrement importante : elle signifie que la variation d'un champ magnétique crée un champ électrique, et que la variation d'un champ électrique crée un champ magnétique. Par conséquent, ces équations permettent la circulation d'ondes électromagnétiques autoentretenues, ou « rayonnement électromagnétique ». La vitesse de propagation calculée pour les ondes électromagnétiques, qui pourrait être prédite par des expériences sur les charges et les courants , est exactement la vitesse de la lumière. En effet, la lumière est une forme de rayonnement électromagnétique (tout comme les rayons X, les ondes radio, etc.). Maxwell avait compris la relation entre le rayonnement électromagnétique et la lumière en 1864, unifiant ainsi deux domaines jusqu'ici disjoints : celui de l'électromagnétisme et celui de l'optique. Vers 1865, Maxwell a réalisé une synthèse harmonieuse des diverses lois expérimentales découvertes par ses prédécesseurs (lois de l'électrostatique, du magnétisme, de l'induction…). Mais cette synthèse n'a été possible que parce que Maxwell a su dépasser les travaux de ses devanciers, en introduisant dans une équation un « chaînon manquant », appelé le courant de déplacement, dont la présence assure la cohérence de l'édifice unifié. Maxwell a d'abord publié en 1865 sa théorie sous la forme de vingt équations à vingt inconnues, écrites à l'aide de quaternions. En 1873, dans l'ouvrage en deux volumes A Treatise on Electricity and Magnetism, Maxwell a déjà réécrit sa théorie sous la forme de huit équations. Ce n'est que plus tard, en 1884, qu'Oliver Heaviside réécrivit ces équations sous la forme des quatre équations vectorielles aux dérivées partielles que l'on connaît maintenant . Aujourd'hui, les quatre équations (vectorielles) de Maxwell se réduisent à seulement deux équations tensorielles, ou même à une seule équation multivectorielle en algèbre géométrique. La synthèse de Maxwell a permis ultérieurement les deux plus grandes avancées de la physique moderne : la théorie de la relativité restreinte (via le problème du référentiel de l'hypothétique éther). En effet, les équations de Maxwell permettent de prédire l'existence d'une onde électromagnétique, c'est-à-dire que la modification d'un des paramètres (densité de charge, intensité du courant…) a des répercussions à distance avec un certain retard. Or, la vitesse de ces ondes, c, calculée avec les équations de Maxwell, est égale à la vitesse de la lumière mesurée expérimentalement. Cela a permis de conclure que la lumière était une onde électromagnétique. Le fait que c soit la même dans toutes les directions et indépendante du référentiel, conclusion que l'on tire de ces équations, est un des fondements de la théorie de la relativité restreinte. Si l'on change de référentiel, le changement de coordonnées classique ne s'applique pas aux équations de Maxwell, il faut utiliser une autre transformation : la transformation de Lorentz. Einstein a tenté d'appliquer les transformations de Lorentz à la mécanique classique, ce qui l'a conduit à la théorie de la relativité restreinte ; la physique quantique. L'étude de la lumière et des ondes électromagnétiques, avec notamment les travaux de Max Planck sur le corps noir et d'Heinrich Hertz sur l'effet photoélectrique, donna naissance à la théorie quantique en 1900. On présente ci-dessous la théorie microscopique fondamentale qui donne les équations de Maxwell-Lorentz dans le vide en présence de sources, qui peuvent être des charges ponctuelles et/ou leurs courants électriques microscopiques associés si ces charges sont en mouvement dans le référentiel d'étude. La théorie macroscopique nécessitant l'introduction des champs D et H (et les équations de Maxwell associées) est discutée en détail dans Électrodynamique des milieux continus. On note : la densité volumique de charge électrique au point à l'instant ; le vecteur densité de courant; le vecteur champ électrique; le champ magnétique; la permittivité diélectrique du vide; la perméabilité magnétique du vide. Dans cette équation, on utilisera l'opérateur nabla, noté : , dont on peut écrire l'expression en coordonnées cartésiennes avec Cette équation locale donne la divergence du champ électrique en fonction de la densité de la charge électrique: 1 3 Aspects historiques L'apport de Maxwell 4 Mathématiques modernes Les héritiers de Maxwell Théorie de Maxwell-Lorentz dans le vide Équation de Maxwell-Gauss L'équation locale de Maxwell Cette équation correspond à un «terme de source» : la densité de charge électrique est une source du champ électrique. Par exemple, pour une charge ponctuelle fixée à l'origine , la loi de Coulomb donnant le champ électrostatique en un point de l'espace, point repéré par le vecteur position où est le vecteur unitaire radial, et qui s'écrit: Ce champ électrostatique vérifie l'équation de Maxwell-Gauss pour la source statique, soit où est la distribution de Dirac dans l'espace à trois dimensions. Le théorème de Gauss est la forme intégrale de l'équation de Maxwell-Gauss. Il affirme que le flux du champ électrique permanent à travers une surface de Gauss fermée , orientée selon la normale sortante, est égale au rapport de la charge contenue dans le volume délimité par la surface et de la permittivité du vide : On remarquera que l'équation de Maxwell-Gauss se retrouve facilement en appliquant le théorème d'Ostrogradski au théorème de Gauss et en prenant un volume infinitésimal. Cette équation est aussi appelée équation de Maxwell-flux ; elle exprime que le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est toujours nul: Cette équation est la uploads/s3/ equations-de-maxwell.pdf