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NOTES DE COURS DE l’UE OMI3 Mécanique 4A OUTILS MATHÉMATIQUES POUR L’INGÉNIEUR

NOTES DE COURS DE l’UE OMI3 Mécanique 4A OUTILS MATHÉMATIQUES POUR L’INGÉNIEUR 3 2022-2023, Automne Jérôme Bastien Document compilé le 5 septembre 2022 Le lien original de ce document est le suivant : http://utbmjb.chez-alice.fr/Polytech/OMI3/coursOMI3.pdf Ce document est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons : Paternité - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modiﬁcation ; 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ ou en français http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.fr Table des matières Avant-propos v Introduction vii Ouvrages utilisés ix partie 1. Analye complexe 1 Chapitre 1. Fonctions holomorphes 3 1.1. Rappels sur les complexes 3 1.2. Introduction 3 1.3. Dérivation au sens des complexes : fonctions holomorphes 3 Chapitre 2. Séries entières et fonctions usuelles sur C 13 2.1. Rappels sur les séries et les développements limités 13 2.2. Introduction 13 2.3. Déﬁnitions 13 2.4. Fonctions analytiques 16 2.5. Fonctions usuelles sur C 16 Chapitre 3. Intégration des fonctions complexes, Théorème de Cauchy et Formules des Résidus 27 3.1. Introduction 27 3.2. Intégration des fonctions complexes 27 3.3. Primitive des fonctions complexes et Théorie de Cauchy 31 3.4. Formule des résidus et applications aux calculs d’intégrales 34 3.5. Applications aux calculs d’intégrales 40 3.6. Hommages à Cauchy et à la formule de Cauchy 40 Chapitre 4. Transformations conformes 43 Chapitre 5. Applications de l’analyse complexe 45 5.1. Calculs d’intégrales et de séries 45 5.2. Applications à la mécanique des ﬂuides et transformations conformes 49 partie 2. Distributions 59 Chapitre 6. Introduction aux distributions 61 6.1. Introduction 61 6.2. Pourquoi les distributions ? 61 6.3. Déﬁnition des distributions 62 6.4. Limite d’une suite de distributions 71 6.5. Dérivation des distributions 72 i ii Table des matières 6.6. Produit de distributions (produit par une fonction indéﬁniment dérivable) 75 6.7. Série de distributions 76 Chapitre 7. Produit de convolution pour les distributions 79 7.1. Rappels sur la convolution de fonctions 79 7.2. Déﬁnition de la convolution de fonctions 79 7.3. Propriété de la convolution de fonctions 79 7.4. Produit de convolution pour les distributions 80 7.5. Exemples d’applications : résolutions d’équations diﬀérentielles d’ordre 1 84 Chapitre 8. Applications des distributions 87 8.1. Considération de choc en mécanique 87 partie 3. Annexes 91 Annexe A. Nombres complexes 93 A.1. Quelques rappels théoriques 93 A.2. Quelques exercices 98 A.3. Plusieurs problèmes de géométrie 101 Annexe B. L’argument d’un nombre complexe et la fonction atan2 115 B.1. L’argument d’un nombre complexe 115 B.2. La fonction atan2 116 B.3. Exemples 118 Annexe C. Une formule de trigonométrie amusante 121 Annexe D. Comportement d’une série entière au bord de convergence 127 D.1. Rappels sur le rayon de convergence 127 D.2. Rappels sur le comportement d’une série entière à l’intérieur du disque de convergence 128 D.3. Comportement d’une série entière au bord du disque de convergence 128 D.4. Des faux paradoxes fondés sur l’Abel-sommabilité 143 Annexe E. Redéﬁnitions des fonctions complexes z 7→√z et z 7→z1/n (sous la forme d’un exercice corrigé)153 Énoncé 153 Corrigé 154 Annexe F. Déﬁnitions des fonctions complexes arcsin et arccos (sous la forme d’un exercice corrigé) 165 Énoncé 165 Corrigé 166 Annexe G. Calcul d’une intégrale impropre (sous la forme d’un exercice corrigé) 173 Énoncé 173 Corrigé 174 Annexe H. Calcul d’une intégrale impropre (sous la forme d’un exercice corrigé) 179 Énoncé 179 Corrigé 180 Annexe I. Calcul de l’intégrale de Dirichlet (sous la forme d’un exercice corrigé) 187 Énoncé 187 Corrigé 188 UCBL/Polytech 2022-2023 Automne Mécanique 4A Cours de OMI3 Jérôme Bastien Table des matières iii Annexe J. Calcul de l’intégrale de Fresnel (sous la forme d’un exercice corrigé) 193 Énoncé 193 Corrigé 194 Annexe K. Calcul d’une intégrale (sous la forme d’un exercice et d’un problème corrigés) 197 Énoncé de l’exercice 197 Corrigé de l’exercice 197 Énoncé du problème 199 Corrigé du problème 200 Annexe L. Transformations conformes 211 Annexe M. Topographie et courbes de niveau 215 M.1. Un exercice de rappel 215 M.2. Liens entre potentiels, équipotentielles, altitude et lignes de plus grande pente 216 Annexe N. Rappels sur une poutre droite en ﬂexion 219 N.1. Équation d’équilibre local 219 N.2. Équations donnant la déformée 220 N.3. Poutre encastrée libre 220 N.4. Retour sur les équations au sens des distributions 221 Annexe O. Rappels sur les diﬀérents modes de convergence de fonctions 223 Annexe P. Rappels sur l’intégration 225 P.1. Intégration de Riemann 225 P.2. Intégration de Lebesgue 225 Annexe Q. Rappels les espaces de fonctions 227 Q.1. Espaces de fonctions 227 Q.2. Espaces de Sobolev 227 Annexe R. Formulation variationnelle abstraite 229 Annexe S. Rappel sur les hyperplans 233 Annexe T. Intégration de distributions 235 Annexe U. Quelques calculs explicites de sommes de Séries 241 U.1. Introduction 241 U.2. Calcul par les séries entières 241 U.3. Calcul par les nombres et les polynômes de Bernoulli 244 U.4. Calcul par les distributions périodiques 253 U.5. Calcul par l’utilisation du théorème des résidus 259 U.6. Calculs avec des logiciels de calcul formel 264 Annexe V. Rappels sur les distributions périodiques 265 Bibliographie 267 Avant-propos Ce polycopié constitue les notes de cours de Outils Mathématiques pour l’Ingénieur 3 de Mécanique 4A (2022-2023, Automne). Ce polycopié de cours et les ﬁchiers matlab donnés en illustration sont normalement disponibles à la fois • en ligne sur http://utbmjb.chez-alice.fr/Polytech/index.html à la rubrique habituelle ; • en cas de problème internet, sur le réseau de l’université Lyon I : il faut aller sur : — ’Poste de travail’, — puis sur le répertoire ’P:’ (appelé aussi ’\\teraetu\Enseignants’), — puis ’jerome.bastien’, — puis ’Polytech’, — puis ’Mécanique 4A’. — enﬁn sur ’OMI3’. Désormais, un certain nombres d’éléments facultatif de ce cours ne sont plus traités en séance. Pour tenter de préserver la planête, ces éléments ne ﬁgurent pas dans ce polycopié distribué au format papier et en pdf sur internet. Néanmoins, une version longue de ce polycopié est disponible sur internet à l’adresse habituelle : http://utbmjb.chez-alice.fr/Polytech/OMI3/coursOMI3long.pdf Toutes les références utilisées lors des TD, des TP et des corrections d’examens sont faites en général 1 par rapport à cette version courte. Les renvois vers la version longue seront signalés de la façon suivante : Voir la preuve page 47 de la version longue. ♠ Des notes en petits caractères comme suit pourront être omises en première lecture : Attention, passage diﬃcile ! ♦ 1. Dans le cas contraire, cela sera signalé. v Introduction La notion « d’outils mathématiques » peut être trompeuse ! Ce ne sont pas, comme on peut le croire de prime abord, de simples recettes qui permettent de résoudre tel ou tel type d’exercice, mais ils renvoient à des concepts parfois profonds. Dans le cours d’OMI 1, les notions d’algèbre linéaires, d’équations diﬀérentielles ou d’analyse vectorielles, s’appuient sur une théorie qui peut être abstraite ! Il en est de même du cours d’OMI 2, où les notions de transformés de Fourier et de Laplace, même si elles transforment aisément des équations diﬀérentielles en équations algébriques, s’appuient sur un cadre théorique précis. Un ingénieur mécanicien doit savoir, au cours de sa formation ou dans le cadre de certains calculs, modéli- ser 2 le comportement des structures qu’il fabrique ou contrôle. Cela implique, d’une part, d’écrire correctement, ces lois de comportement et les équations qui en découlent. Ces équations, très souvent diﬀérentielles (ordinaire comme le cas de structure discrète ou aux dérivées partielles, comme le cas de modèles continus, comme par exemple celui d’une membrane souple), sont accompagnées d’un contexte théoriques qui permet d’aﬃrmer que ces équations sont bien écrites et que la solution existe et est unique. D’autre part, ces équations ont rarement des solutions connues explicitement et il faudra donc procéder à des calculs permettant d’approcher ces solu- tions. Ces notions d’analyse numériques sont introduites essentiellement dans le cours de méthodes numériques. Cependant, la théorie et l’analyse numériques sont parfois très liées et l’écriture d’approximations correctes et réalisables à l’aide d’ordinateurs, a besoin d’un cadre rigoureux, précisément étudié. Il est en, par exemple, ainsi pour la résolution de certains problèmes de mécaniques (issus de la théorie des poutre ou de l’élasticité tridimensionnelle), qui s’appuient sur une formulation, dite faible, qui permettra à la fois d’obtenir existence et unicité de la solution, mais aussi l’approximation de cette solution, via la méthode des éléments ﬁnis 3. Cette formulation faible s’appuie sur la théorie des distributions 4 présentée dans la partie 2 de ce cours. Cette théorie, mise au point par Laurent Schwartz 5, sort de l’analyse ordinaire que vous connaissez, notamment sur la dérivation, et permet de donner un sens plus général à la dérivation, en permettant de dériver toute fonction, même non dérivable ! La notion de fonction de Dirac, introduite par certains physiciens pour pouvoir dériver la fonction de Heaviside, discontinue en zéro, prend alors une véritable existence mathématique et tous les calculs précédemment menés sur ces fonctions, sans rigueur apparente, deviennent tout à fait rigoureux ! Ce formalisme a permis alors l’émergence d’un cadre rigoureux 6, notamment sur les équations diﬀérentielles très utilisées en physique, la théorie abstraite en découlant faisant partie 7 de ce que l’on appelle les « mathématiques appliquées ». Cette théorie a aussi permis l’émergence de uploads/s3/ cours-omi3-a22.pdf