Cours d'analyse numérique Master 1: G.Chimique / U. de Ghardaia 1 Introduction

Cours d'analyse numérique Master 1: G.Chimique / U. de Ghardaia 1 Introduction 1.1 Modélisation mathématique (dé nitions) Modélisation mathématique La modélisation mathématique est la conception et l'utilisation d'un modèle mathématique. Modèle mathématique Un modèle est la représentation abstraite d'un système ou d'un procédé par un ensemble d'équations. Simulation numérique La simulation numérique est le processus qui permet de calculer sur un ordinateur les solutions de ces modèles et donc de simuler la réalité physique. Figure 1: Simulation numérique: Méthodologie 1.2 Modélisation mathématique du phénomène de transport Les modèles mathématiques expriment généralement; les bilans de matière, de quantité de mouvement, d'énergie ou bien les couplage des phénomènes de transfert (masse et énergie), réactions chimiques etc... La forme générale de la loi de conservation s'écrit : ∂ρφ ∂t + div(ρ⃗ uφ) = div(Γgradφ) + S (1) 1.3 Principe de conservation de la masse Ce principe stipule que la masse d'un objet ne change jamais dans le temps. En d'autres termes, la masse ne peut être ni créée ni détruite. En mécanique des uides (MDF), le principe de conservation de la masse traduit par l'équation de continuité. Pour un uide de masse volumique ρ et de vitesse ⃗ v, l'équation de continuité est donnée par : ∂ρ ∂t + div(ρ⃗ u) = 0 (2) Enseignant: A.Babou 1 Chapitre 4: Equations elliptiques Cours d'analyse numérique Master 1: G.Chimique / U. de Ghardaia 1.4 Principe de conservation d'energie La loi de la conservation de l'énergie stipule que pour un système isolé l'énergie ne peut être ni créée ni détruite,toutefois, elle peut être transformée d'une forme à une autre. La première loi de la thermodynamique est la loi de la conservation de l'énergie. - Pour un système isolé ∆Et = 0 (3) - Pour un système quelconque: ∆U = W + Q (4) 1.5 Principe de conservation d'espèce chimique En chimie, au cours d'une transformation chimique, la masse de tous les réactifs disparus est égale à la masse de tous les produits apparus (la st÷chiométrie). En respectant les lois de la conservation des charges et des éléments. X mreactifs = X mproduits (5) X qreactifs = X qproduits (6) Par exemple, la masse de carbone plus la masse de dioxygène qui réagit avec le carbone est egale à la masse du dioxyde de carbone produit. C + O2 − →CO2 12g + 32g = 44g 2 Classi cation des équations aux dérivées partielles 2.1 Généralités sur les équations aux dérivées partielles Soit u = u(x1, ...xn) une fonction de plusieurs variables indépendantes en nombre ni. On appelle Équation aux Dérivées Partielles (EDP) pour la fonction u, une relation entre les variables indépendantes (x1, ...xn) et la fonction "inconnue" u et ses dérivées. Elle s'écrit de façon générale : F(x1, x2, ..., u, ∂u ∂x1 , ..., ∂nu ∂xn n ) = 0 (7) Pour (x, y, ...) ∈Ω - L'ordre d'une équation aux dérivées partielles est le plus haut degré de dérivation présent dans l'équation. - Une équation aux dérivées partielles est dite linéaire si u et ses dérivées partielles apparaissent séparément et à la puissance 1 dans une EDP, celle-ci est dite linéaire. - Résoudre l'EDP consiste donc à déterminer toutes les fonctions u dé nies sur Ω satisfaisant (1). En général, une EDP est complétée par des conditions sur le bord de Ω. Enseignant: A.Babou 2 Chapitre 4: Equations elliptiques Cours d'analyse numérique Master 1: G.Chimique / U. de Ghardaia 2.2 Equation aux dérivées partielles du 1er ordre Une équation dans laquelle gure une fonction u de plusieurs variables indépendantes (x1, ...xn) et des dérivées partielles du 1er ordre de u par rapport à ces variables, c'est-à- dire une équation de la forme: F(x1, x2, ..., u, ∂u ∂x1 , ..., ∂u ∂xn ) = 0 (8) est dite une équation aux dérivées partielles (en abrégé : EDP) du 1er ordre. Toute fonction f(x1, ..., xn) qui satisfait identiquement à cette équation est une solution de celle-ci. Exemples: ∂u(x, t) ∂x = 0 ⇔u(x, t) = φ(t) ∂u(x, t) ∂t = 0 ⇔u(x, t) = φ(x) 2.3 Equation aux dérivées partielles du 2nd ordre Soit u une fonction de deux variables x et y. On appelle équation aux dérivées partielles du 2nd ordre une équation de la forme: F(x, y, ..., u, ∂u ∂x, ∂u ∂x, ∂2u ∂x2, ∂2u ∂x∂y, ∂2u ∂y2 ) = 0 (9) Exemples: ∂2u ∂x2 = 0 ⇔∂ ∂x(∂u ∂x) = 0 ⇔∂u ∂x = φ(y) ⇔u(x, y) = xφ(y) + ψ(y) 2.4 Classi cation aux sens physique On distingue généralement plusieurs types d'équations diérentielles: (Équation de Laplace, Équation de Poisson, ...). Les EDP rencontré en génie chimique sont: Équation de Navier-Stokes pour un uide incompressible: ρ(∂u ∂t + u.∇u) = −∇P + µ∇2u + ρg (10) Équation de la chaleur ρcp ∂T ∂t = k∇2T + ˙ Q (11) Seconde loi de Fick (Diusion) ∂Ci ∂t = D∇2Ci (12) Les EDP ont une in nité de solutions, en général, pour pouvoir avoir une solution unique, des informations supplémentaires sont requises: Des conditions initiales (si le Enseignant: A.Babou 3 Chapitre 4: Equations elliptiques Cours d'analyse numérique Master 1: G.Chimique / U. de Ghardaia problème est transitoire), le domaine Ωsur lequel l'équation s'applique et des conditions frontières ∂Ω 2.5 Classi cation aux sens mathématiques Considérons une équation aux dérivées partielles du second ordre à coe cients constants de la forme : A∂2u ∂x2 + B ∂2u ∂x∂y + C ∂2u ∂y2 + D∂u ∂x + E ∂u ∂y + Fu + G = 0 (13) Avec: A, B, C, D, E, F et G sont des constants. Trois diérents types d'équation peuvent être identi és en fonction du signe de l'expression B2 −4AC: - Si B2 −4AC < 0 l'EDP est dite elliptique, Exemple: Equation de Laplace: ∂2u(x, y) ∂x2 + ∂2u(x, y) ∂y2 = 0 (14) - Si B2 −4AC = 0 l'EDP est dite parabolique. Exemple: Equation de la diusion (ou équation de la chaleur) : ∂u(t, x) ∂t = α∂2u(t, x) ∂x2 (15) - Si B2 −4AC > 0 l'EDP est dite hyperbolique. Exemple: Equation des ondes ∂2u(t, x) ∂x2 = 1 c2 ∂2u(t, x) ∂t2 = 0 (16) 2.6 Homework 1- Déterminer, pour chaque EDP si elle est linéaire, si est-elle homogène et son ordre. (∂u ∂x)2 −u∂u ∂y = 0 (x2 + y2)(∂u ∂x + 3∂u ∂y ) = x −y + u ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2 = 0 ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2 = g(x, y, z) u∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = x −y2 Enseignant: A.Babou 4 Chapitre 4: Equations elliptiques Cours d'analyse numérique Master 1: G.Chimique / U. de Ghardaia 2- Dites, pour chaque EDP si elle est elliptique, parabolique ou hyperbolique. ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0 ∂2u ∂t2 = ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 ∂u ∂t = ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 t∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0 3 Méthodes de descritisation Le modèle mathématique constitué par une EDP ou par un système d'EDP est transformé, à l'aide des schémas numériques dans un système d'équations algébriques. Les schémas les plus connues de discrétisation spaciales sont: méthodes des diérences nies, méthodes des volumes nis et méthodes des éléments nis; et de discrétisation temporelle : explicite et implicite. 3.1 Méthode des diérences nies (MDF) Principe: La méthode des diérences nies consiste à approximer les dérivées des équations diérentielles au moyen des développements de Taylor tronquées à l'ordre de précision choisie. Par dé nition de la dérivée, on a : ∂u ∂x = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y, z, t) −u(x, y, z, t) ∆x (17) Un développement de Taylor de u(x + ∆x, y, z, t) au voisinage de x donne : u(x+∆x, y, z, t) = u(x, y, z, t)+∆x 1! ∂u ∂x(x, y, z, t)+∆x2 2! ∂2u ∂x2(x, y, z, t)+∆x3 3! ∂3u ∂x3(x, y, z, t)+O(∆x4) (18) u(x−∆x, y, z, t) = u(x, y, z, t)−∆x 1! ∂u ∂x(x, y, z, t)+∆x2 2! ∂2u ∂x2(x, y, z, t)−∆x3 3! ∂3u ∂x3(x, y, z, t)+O(∆x4) (19) On peut représenter la fonction inconue u sous forme indicielle ∂u ∂x  x=xi = ∂u ∂x  i (20) ui+1 = u(x + ∆x) = ui + ∆x ∂u ∂x  i + ∆x2 2! ∂2u ∂x2  i + ∆x3 3! ∂3u ∂x3  i + O(∆x4) (21) Enseignant: A.Babou 5 Chapitre 4: Equations elliptiques Cours d'analyse numérique Master 1: G.Chimique / U. de Ghardaia Figure 2: Maillage 1d ui−1 = u(x −∆x) = ui −∆x ∂u ∂x  i + ∆x2 2 ∂2u ∂x2  i −∆x3 3! ∂3u ∂x3  i + O(∆x4) (22) En peut écrire, en notation indicielle, ce schéma est dit avant ou upwind. : ∂u ∂x  = ui+1 −ui ∆x (23) En soustrayant la relation (6) de la relation (5) on obtient l'approximation la dérivée première de u : ∂u ∂x  i = ui+1 −ui−1 2∆x (24) Ce schéma est dit centré En additionnant les relations (5) et (6) on obtient l'approximation de la dérivée uploads/s3/ cours-an.pdf

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