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G´ en´ eralit´ es sur les Fonctions r´ eelles ` a variable r´ eelle — MPSI Pryt

G´ en´ eralit´ es sur les Fonctions r´ eelles ` a variable r´ eelle — MPSI Prytan´ ee National Militaire Pascal DELAHAYE 25 octobre 2017 Dans ce chapitre, nous allons nous int´ eresser aux fonctions dont la variable est r´ eelle mais dont les valeurs peuvent ˆ etre soit r´ eelles soit complexes. 1 D´ eﬁnition, Graphe et Op´ erations D´ efinition 1 : Ensemble de d´ eﬁnition Soit f : x 7→f(x) avec x ∈R et f(x) ∈R ou C. L’ensemble de d´ eﬁnition de la fonction f est Df = {x ∈R | f(x) existe}. On pourra cependant restreindre la fonction f ` a toute partie I ⊂R telle que I ⊂Df. Cette restriction pourra ˆ etre not´ ee : f|I Exemple 1. Donner l’ensemble de d´ eﬁnition des fonctions d´ eﬁnies par les expressions suivantes : 1. f(x) = ln(1 + 2 sin x) 2. g(x) = √1 −x + i ln(3−x) 1−x 3. h(x) = tan 1 x D´ efinition 2 : Repr´ esentation Graphique d’une fonction r´ eelle Soit f : I →R. La repr´ esentation graphique de la fonction f est l’ensemble des points du plan d´ eﬁni par Cf = {M(x, f(x)) | x ∈I} On ne d´ eﬁnit pas la repr´ esentation graphique d’une fonction ` a valeurs complexes. La fonction sin La fonction x 7→x2 La fonction ln 1 Cours MPSI-2017/2018 Fonctions r´ eelles ` a variable r´ eelle http://pascal.delahaye1.free.fr/ D´ efinition 3 : Equation cart´ esienne d’une courbe On consid` ere le plan muni d’un rep` ere R(O, − → i , − → j ), C une courbe du plan et f : R2 →R. On dira que ”f(x, y) = 0” est une ´ equation cart´ esienne de la courbe C lorsque : M(x, y) ∈C ⇐ ⇒ f(x, y) = 0 Une ´ equation cart´ esienne se d´ etermine donc par ´ equivalences successives... Exemple 2. La repr´ esentation graphique d’une fonction f ∈F(I, R) admet pour ´ equation cart´ esienne : y = f(x) Exemple 3. (∗) Dans le plan muni d’un ron, d´ eterminer des ´ equations cart´ esiennes des ensembles suivants : 1. Le cercle de centre Ω(−1, 2) et de rayon R = 3 2. L’ensemble des points M v´ eriﬁant MH = 2OM o` u H est le projet´ e orthogonal de M sur D : x = 1. 1.1 Transformations usuelles Connaissant le graphe de la fonction x 7→f(x), les graphes des fonctions suivantes (o` u a ∈R) s’obtiennent par des transformations simples du plan ... x 7→f(x) + a : x 7→f(x + a) : x 7→f(−x) : Translation de vecteur − → u (0, a)) Translation de vecteur − → u (−a, 0) Sym´ etrie ⊥par rapport ` a Oy x 7→f(a −x) x 7→f(ax) x 7→af(x) Sym´ etrie ⊥par rapport ` a x = a 2 Aﬃnit´ e ⊥d’axe 0y, de rapport 1 a Aﬃnit´ e ⊥d’axe 0x, de rapport a Exemple 4. (∗) Tracer les repr´ esentations graphiques des fonctions d´ eﬁnies par : 1. f(x) = 2 cos( 1 3x) 2. g(x) = 3 ln(4 −x) 3. h(x) = e−x 2 −1 2 Cours MPSI-2017/2018 Fonctions r´ eelles ` a variable r´ eelle http://pascal.delahaye1.free.fr/ 1.2 R´ esolution graphique d’´ equations et d’in´ equations Remarque 1. Les ´ equations ou in´ equations de la forme suivante se r´ esolvent facilement graphiquement (aux erreurs d’approximation pr` es)... f(x) = λ f(x) ≤λ f(x) ≤g(x) Exemple 5. (∗) Donner graphiquement les solutions approximatives des ´ equations et in´ equations suivantes : 1. x2 −x + 1 ≤0 2. ln(2x) = 3 sin x 3. 2 1−x ≥√2 + x 1.3 Op´ erations sur les applications D´ efinition 4 : Op´ erations sur les fonctions Dans l’ensemble F(I, K) o` u K = R ou C, on d´ eﬁnit les lois de composition internes (lci) et externe (lce) et les op´ erateurs suivants : Loi Notation D´ eﬁnition Addition : (f + g) ∀x ∈I, (f + g)(x) = f(x) + g(x) Multiplication par un r´ eel : λ.f ∀x ∈I, (λf)(x) = λ × f(x) Multiplication : f × g ∀x ∈I, (f × g)(x) = f(x) × g(x) Valeur absolue (ou module) d’une fonction : |f| ∀x ∈I, |f|(x) = |f(x)| Remarque 2. 1. Les op´ erations × et + dans F (I, C) sont commutatives et associatives et × est distributive par rapport ` a +. On dira que (F (I, C) , +, .) est un R-espace vectoriel et que (F (I, C) , +, ×) est un anneau. 2. : f × g = 0 ne signiﬁe pas que l’une des deux fonctions est nulle. On dira que l’anneau (F (I, C) , +, ×) n’est pas int` egre. D´ efinition 5 : Composition de deux fonctions Soit f : I →R et g : J →R ou C. Lorsque pour tout x ∈I, on a f(x) ∈J (cela s’´ ecrit f(I) ⊂J) alors on peut d´ eﬁnir l’application x 7→g(f(x)). Cette application est not´ ee g ◦f : g ◦f : I − → R ou C x 7→ g(f(x)) et donc ∀x ∈I, g ◦f(x) = g(f(x)) 3 Cours MPSI-2017/2018 Fonctions r´ eelles ` a variable r´ eelle http://pascal.delahaye1.free.fr/ Exemple 6. Reconnaˆ ıtre les fonctions qui composent les expressions suivantes : 1. a(x) = 1 sin(1−x) 2. b(x) = ln((tan2(x))) 3. c(x) = 2 + (ex−1 + 1)2 Remarque 3. La loi de composition est associative mais pas commutative. 2 Parit´ e et p´ eriodicit´ e 2.1 Parit´ e Dans cette partie, les fonctions sont ` a valeurs dans R ou C. D´ efinition 6 : Fonctions paires, impaires Soit f une fonction d´ eﬁnie sur un intervalle I sym´ etrique par rapport ` a 0. On dit que : f est paire ssi ∀x ∈I, f(−x) = f(x) f est impaire ssi ∀x ∈I, f(−x) = −f(x) Remarque 4. 1. Nous avons les caract´ erisations graphiques suivantes : (a) f est paire ⇐ ⇒Cf sym´ etrique par rapport ` a Oy (b) f est impaire ⇐ ⇒Cf sym´ etrique par rapport ` a O 2. Si f et g sont paires (resp. impaires) alors, f + g, et λf le sont aussi. On dira que l’ensemble des fonctions paires (resp. impaires) de F (I, R) forment un sous-espace vectoriel de F (I, R). (Voir le cours sur les espaces vectoriels) Fonction paire Fonction paire Exemple 7. (∗) Etudier la parit´ e de la fonction f d´ eﬁnie par f(x) = ln( √ 1 + x2 −x). Exercice : 1 (∗) D´ emontrer que toute fonction de la variable r´ eelle se d´ ecompose de fa¸ con unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire ? Appliquer le r´ esultat pr´ ec´ edent ` a la fonction exponentielle. 2.2 P´ eriodicit´ e D´ efinition 7 : Fonctions p´ eriodiques Une fonction f d´ eﬁnie sur R est p´ eriodique ssi ∃T > 0, ∀x ∈I, f(x + T ) = f(x) Fonction p´ eriodique 4 Cours MPSI-2017/2018 Fonctions r´ eelles ` a variable r´ eelle http://pascal.delahaye1.free.fr/ Exemple 8. (∗) V´ eriﬁer que la fonction f d´ eﬁnie par f(x) = x −⌊x⌋est une fonction p´ eriodique. Proposition 1 : Les fonctions p´ eriodiques usuelles Si a ∈R+∗et b ∈R, on a : 1. x 7→cos(ax + b) x 7→sin(ax + b) sont T = 2π a p´ eriodiques 2. x 7→tan(ax + b) est T = π a p´ eriodique Preuve 1 : Simple v´ eriﬁcation... Remarque 5. Si f et g sont p´ eriodiques de mˆ eme p´ eriode T, alors f + g, f.g, f/g et λf sont aussi p´ eriodiques de p´ eriode T . On dira que l’ensemble des fonctions p´ eriodiques de F (I, R) forme une sous-alg` ebre de F (I, R). (Voir le cours sur les espaces vectoriels) Exemple 9. (∗) D´ eterminer une p´ eriode de la fonction d´ eﬁnie sur I par : f(x) = cos(5x+3) 1+tan2(x/3). 3 Variations, Encadrements et Extrema Dans cette partie, les fonctions sont uniquement ` a valeurs dans R. 3.1 Sens de variation D´ efinition 8 : Fonctions monotones On dit que f est croissante sur I ssi ∀(x, y) ∈I2 x < y ⇒f(x) ≤f(y). On dit que f est d´ ecroissante sur I ssi ∀(x, y) ∈I2 x < y ⇒f(x) ≥f(y). On dit que f est monotone ssi elle est croissante ou d´ ecroissante. On dit que f est strictement croissante sur I ssi ∀(x, y) ∈I2 x < y ⇒f(x) < f(y). On dit que f est strictement d´ ecroissante sur I ssi ∀(x, y) ∈I2 x < y ⇒f(x) > f(y). Remarque 6. Une fonction constante est ` a la fois croissante et d´ ecroissante. Exemple 10. (∗∗) Soit f : R 7→R telle que fof est croissante tandis que fofof est strictement d´ ecroissante. Montrer que f est strictement d´ ecroissante. Exercice : 2 (∗) Soit f une fonction croissante uploads/s3/ cours-fct-a-var-reel.pdf