Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Petit cours n°4 ‐ Luc Lasne 2017 La propagation de l’onde électromagnétique « C

Petit cours n°4 ‐ Luc Lasne 2017 La propagation de l’onde électromagnétique « Cela n'a aucune espèce d'application. C'est juste une expérience qui permet de prouver que le maître Maxwell avait raison — nous avons simplement ces ondes électromagnétiques mystérieuses que nous ne pouvons voir à l'œil nu. Mais elles sont là.» Heinrich Hertz (1857‐1894) Depuis le 19ème siècle, et en particulier après la mise en évidence des phénomènes prédits par les équations de Maxwell, un éclairage tout particulier est apparu sur l’électricité et le magnétisme : ce sont deux phénomènes indissociables et « couplés », liés par nature et pouvant faire apparaître des phénomènes de propagation. On parle dans ce cas « d’onde électromagnétique ». L’équation générale de propagation sans dissipation à une dimension De façon générale, les phénomènes ondulatoires sont très répandus et même très tangibles. Imaginez simplement que vous jetez un caillou dans l’eau d’un lac. Vous visualisez alors immédiatement des cercles concentriques qui se propagent à partir du point d’impact, comme le représente la figure 4.1. Analysons alors le phénomène dans une seule des directions de propagation, un seul rayon représenté également sur la figure par l’axe (0,x). Figure 4.1 : Propagation des « ronds dans l’eau » En relevant à un instant ݐଵ la forme de la surface de l’eau le long de l’axe, celle ci apparaît comme une fonction ݂ሺݔሻ où ݔ représente la distance par rapport au centre des cercles. Un instant plus tard, au temps ݐ, le profil des ondulations se sera déplacé vers l’extérieur, la x x x temps : 0 O temps : t d=c.t forme globale étant conservée. Tout se passe comme si le profil initial avait « glissé » le long de l’axe des ݔ avec le passage du temps. Dans ce cadre, la fonction représentant l’onde et son déplacement apparaît comme une fonction de ݔ et de ݐ qui s’écrira classiquement : ݂ሺݔ, ݐሻൌ݂ሺݔെܿ. ݐሻ On peut alors se demander pourquoi introduire dans cette fonction un signe moins et un facteur c... La réponse est facile à identifier : Au temps ݐ l’onde paraît être juste translatée selon l’axe des x d’une certaine distance ݀. Cette distance peut être écrite comme une « vitesse de propagation » appelée ܿ (pour « célérité ») que multiplie la différence de temps : ݀ൌܿ. ݐ . Comme l’onde se déplace dans le sens des ݔ croissants, la forme qu’elle présente à un instant ݐ est la même que celle qu’elle présentait à l’instant 0 mais translatée de la distance ݀ : d’où le terme ݔെܿ. ݐ dans la fonction. En ce qui concerne l’onde qui se propage dans la direction des ݔ൏0, un raisonnement identique conduirait à une fonction s’écrivant : ݃ሺݔ, ݐሻൌ݃ሺݔ൅ܿ. ݐሻ Ce type de phénomène, où une forme d’onde « progresse » le long d’un axe (ou de plusieurs) fait ainsi apparaître une « onde progressive » (sens des ݔ൐0) et une « onde rétrograde » (sens des ݔ൏0) qui doivent toutes les deux vérifier des conditions d’existence. NB : la célérité de l’onde est simplement la vitesse de propagation de l’onde le long de l’axe. Son unité S.I. sera le m/s. Comme la propagation de l’onde est un phénomène dynamique, il semble une bonne idée de s’intéresser aux dérivées spatiales et temporelles de la fonction ݂ሺݔ, ݐሻ qui la décrit. En appelant ݏൌݔെܿ. ݐ la variable « spatiotemporelle », on peut alors écrire : ߲݂ሺݔ, ݐሻ ߲ݐ ൌ߲݂ሺݏሻ ߲ݏ . ߲ݏ ߲ݐൌെܿ. ݂݀ሺݏሻ ݀ݏ Ainsi : ߲²݂ሺݔ, ݐሻ ߲ݐ² ൌെܿ. ߲²݂ሺݏሻ ߲ݏ² . ߲ݏ ߲ݐൌܿ². ݀²݂ሺݏሻ ݀ݏ² Par ailleurs : ߲݂ሺݔ, ݐሻ ߲ݔ ൌ߲݂ሺݏሻ ߲ݏ . ߲ݏ ߲ݔൌ݂݀ሺݏሻ ݀ݏ Et : ߲²݂ሺݔ, ݐሻ ߲ݔ² ൌ߲²݂ሺݏሻ ߲ݏ² . ߲ݏ ߲ݔൌ݀²݂ሺݏሻ ݀ݏ² On remarque alors que : ߲²݂ሺݔ, ݐሻ ߲ݐ² ൌ ܿ². ߲²݂ሺݔ, ݐሻ ߲ݔ² Cette équation est très célèbre, elle porte le nom d’ « équation de D’Alembert » et est particulièrement appréciable car elle est basée sur les hypothèses les plus générales concernant la propagation d’un phénomène quelconque. On pourrait alors se demander pourquoi D’Alembert n’a pas retenu la relation portant sur les dérivées premières : డ௙ሺ௫,௧ሻ డ௧ ൌ െܿ. డ௙ሺ௫,௧ሻ డ௫ comme caractéristique de la propagation … Il faut alors remarquer que cette dernière n’est pas vérifiée pour l’onde rétrograde décrite par ݃ሺݔ൅ܿ. ݐሻ. En revanche la relation portant sur les dérivées secondes l’est ! Le type de solution générale qui la vérifie est alors du type : ݂ሺݔെܿ. ݐሻ൅݃ሺݔ൅ܿ. ݐሻ . Une onde qui se propage peut donc de façon générique être vue comme la superposition d’une onde progressive et d’une onde rétrograde vérifiant l’équation de D’Alembert. L’équation générale de propagation sans dissipation à trois dimensions Intéressons nous au cas particulier d’une onde se déplaçant dans l’espace, dans une direction portée par le vecteur unitaire ݑ ሬԦ ൌอ ߙ ߚ ߛ (comme ce vecteur est unitaire, on aura bien sûr : ߙ² ൅ߚ² ൅ߛ² ൌ1). On se restreindra au cas particulier d’une onde dite « plane », c'est‐à‐dire évoluant dans le plan normal à ݑ ሬԦ, ce qui sera particulièrement utile pour la suite. NB : Bien d’autres cas existent, mais il est assez pratique de s’intéresser à ce cas particulier d’abord. Figure 4.2 : Propagation d’une onde plane Le long de l’axe de propagation, comme par exemple dans le plan repéré par le point P, l’onde peut être décrite par une fonction : ݂ሺݔ, ݕ, ݖ, ݐሻൌ݂ሺܱܲെܿ. ݐሻ où ܱܲൌܱܲ ሬሬሬሬሬԦ. ݑ ሬԦ ൌߙ. ݔ൅ߚ. ݕ൅ߛ. ݖ Ainsi, on peut formuler la fonction qui décrit l’onde comme : ݂ሺݔ, ݕ, ݖ, ݐሻൌ݂ሺߙ. ݔ൅ߚ. ݕ൅ߛ. ݖെܿ. ݐሻൌ݂ሺݏሻ x y z O P ݑ ሬԦ Il est alors possible de suivre la même démarche que précédemment pour établir les dérivées secondes de la fonction suivant toutes les variables : ߲݂ሺݔ, ݕ, ݖ, ݐሻ ߲ݔ ൌ߲݂ሺݏሻ ߲ݏ . ߲ݏ ߲ݔൌߙ. ݂݀ሺݏሻ ݀ݏ Et : ߲²݂ሺݔ, ݕ, ݖ, ݐሻ ߲ݔ² ൌߙ. ߲²݂ሺݏሻ ߲ݏ² . ߲ݏ ߲ݔൌߙ². ݀²݂ሺݏሻ ݀ݏ² ሺ1ሻ De la même manière, on aura : ߲²݂ሺݔ, ݕ, ݖ, ݐሻ ߲ݕ² ൌߚ². ݀²݂ሺݏሻ ݀ݏ² ሺ2ሻ et ߲²݂ሺݔ, ݕ, ݖ, ݐሻ ߲ݖ² ൌߛ². ݀²݂ሺݏሻ ݀ݏ² ሺ3ሻ Enfin : ߲݂ሺݔ, ݕ, ݖ, ݐሻ ߲ݐ ൌ߲݂ሺݏሻ ߲ݏ . ݀ݏ ݀ݐൌെܿ. ߲݂ሺݏሻ ߲ݏ Ainsi : ߲²݂ሺݔ, ݕ, ݖ, ݐሻ ߲ݐ² ൌെܿ. ݀²݂ሺݏሻ ݀ݏ² . ߲ݏ ߲ݐൌܿ². ݀²݂ሺݏሻ ݀ݏ² ሺ4ሻ En ajoutant terme à terme les équations (1), (2) et (3) on obtient : ߲²݂ ߲ݔ² ൅߲²݂ ߲ݕ² ൅߲²݂ ߲ݖ² ൌሺߙଶ൅ߚଶ൅ߛଶሻ. ݀²݂ሺݏሻ ݀ݏ² Comme ߙ² ൅ߚ² ൅ߛ² ൌ1, on identifie facilement l’équation de propagation : ߲²݂ ߲ݔ² ൅߲²݂ ߲ݕ² ൅߲²݂ ߲ݖ² ൌ1 ܿ² . ߲²݂ ߲ݐ² Le terme de gauche de cette équation ressemble à une « extension en trois dimensions » de la dérivée partielle qui apparaît dans l’équation de D’Alembert en une dimension. Dans le cadre d’un « champ scalaire » ݂ሺݔ, ݕ, ݖ, ݐሻ représentant la propagation de variations d’une valeur simple (une température, une pression, …) ce terme s’appelle « le Laplacien » et est noté Δ݂ൌ డ²௙ డ௫² ൅ డ²௙ డ௬² ൅ డ²௙ డ௭². NB : Il ne faut pas confondre son symbole avec celui de l’opérateur nabla ( ߘ ሬ Ԧ ) et il faut remarquer qu’il constitue lui aussi un champ scalaire obtenu qu’il est possible d’exprimer sous la forme ߂݂ൌ݀݅ݒ൫ ݃ݎܽ݀ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ݂ ൯ൌߘ ሬ Ԧ. ߘ ሬ Ԧ݂. Cette dernière expression est alors parfois notée : ߘ²݂. On retiendra ainsi l’équation de D’Alembert en plusieurs dimensions comme : Δ݂ൌ1 ܿ² . ߲²݂ ߲ݐ² Si l’onde est décrite par un champ vectoriel, comme ce serait le cas pour un champ de force, ou encore le champ électromagnétique, les développements précédents peuvent être conduits de la même manière sur les trois coordonnées du vecteur en tout point, et l’équation obtenue s’écrit : Δ ሬ ሬԦ݂ൌ ଵ ௖² . డ²௙ Ԧ డ௧² Dans cette expression Δ ሬ ሬԦ݂ est le « Laplacien vecteur » ou « Laplacien vectoriel » et représente le vecteur : Δ ሬ ሬԦ݂ൌተ ተΔ݂ ௫ Δ݂ ௬ Δ݂ ௬ ൌተ ተ డ²௙௫ డ௫² ൅ డ²௙௫ డ௬² ൅ డ²௙௫ డ௭² డ²௙௬ డ௫² ൅ డ²௙௬ డ௬² ൅ డ²௙௬ డ௭² డ²௙௭ డ௫² ൅ డ²௙௭ డ௬² ൅ డ²௙௭ డ௭² Bien sûr, c’est un plus compliqué et confus exprimé comme ca, c’est pour ca que la notation Δ ሬ ሬԦ݂ est utilisée de manière à identifier de la même manière des relations de propagation portant sur des grandeurs scalaires ou vectorielles. On montre enfin, et c’est bien pratique pour certains développements que les opérateurs Laplacien peuvent être écrits comme ceci :  Δ݂ൌ݀݅ݒ൫ ݃ݎܽ݀ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ݂ ൯ (ce qui est quasiment trivial)  Δ ሬ ሬԦ݂ൌ݃ݎܽ݀ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ൫݀݅ݒ ݂ Ԧ൯െݎ݋ݐሺݎ݋ݐ ݂ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦሻ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ (ce qui est un peu moins trivial) L’onde électromagnétique dans le vide Reprenons un instant les superbes équations de Maxwell établies dans le cours n°3 : ݀݅ݒ ܧ ሬ Ԧ ൌ ஡ ఌబ ݀݅ݒ ܪ ሬ ሬԦ ൌ0 ݎ݋ݐ ܧ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ൌെߤ଴. డு ሬ ሬԦ డ௧ ݎ݋ݐ ܪ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ൌଔ Ԧ ൅ߝ଴. డா ሬ Ԧ డ௧ Si le cas particulier d’un espace vide de charges électriques (et donc de courants) nous intéresse, il suffit de considérer qu’alors uploads/s3/ cours-04-luc-lasne.pdf