L3PAPP/DL-PC Electromagnétisme II Corrigé pour les exercices en séance de TD 9

L3PAPP/DL-PC Electromagnétisme II Corrigé pour les exercices en séance de TD 9 Feuille de TD6 : modèles microscopiques et diamagnétisme 8 avril 2020 1 Diamagnétisme et moment magnétique orbital 1.1 Modèle de Bohr Le but de cet exercice est de retrouver la relation reliant le moment cinétique et le moment magnétique orbital par le PFD. Supposons, comme dans le cours, que le noyau de l’atome porte une charge Ze (Z > 0, e > 0) et un électron fait un mouvement circulaire uniforme avec la vitesse angulaire ω0 autour du noyau. (a) La seule force subie par l’électron est la force Coulombienne par le noyau. Ici nous négli- geons la gravité. Appliquons le PFD sur l’électron : me d⃗ v dt = − 1 4πϵ0 Ze2 ρ2 ⃗ ur. (b) Pour un mouvement circulaire uniforme, ⃗ v = ω0ρ⃗ uθ. Nous pouvons représenter l’accélération par la vitesse angulaire et le rayon du cercle ρ : d⃗ v dt = −ω2 0ρ⃗ ur car la force est centripète. Nous pouvons donc en déduire ω0 en fonction de e, me, ρ : ω0 = s 1 4πϵ0 Ze2 meρ3 . Application numérique : ω0 ∼1016 rad.s−1. 1 L3PAPP/DL-PC Electromagnétisme II (c) Nous assimilons la trajectoire de l’électron à une spire suivant à +⃗ uθ. Sachant que, par définition, I = q T avec la période T = 2π ω0 , on a donc : I = −eω0 2π ⃗ m = I ⃗ S = −eω0 2π πρ2⃗ uz = −e 2ρ2ω0⃗ uz ⃗ σ = meρ2ω0⃗ uz. (d) L’identification de la relation est directe : ⃗ m = −e 2me ⃗ σ = γ⃗ σ où γ est le rapport gyromagnétique de l’électron. (e) Question de cours : g = 1 si le spin est nul et g = 2 si le moment orbital est nul. µB est le magnéton de Bohr. 1.2 Diamagnétisme Nous considérons l’atome précédent placé dans un champ magnétique ⃗ B = B⃗ uz. (a) La nouvelle force subie par l’électron est la partie magnétique dans la force de Lorentz, −e⃗ v × ⃗ B, qui est selon ⃗ ur. (b) Supposons que l’électron continue à faire un mouvement circulaire de rayon ρ après avoir appliqué ⃗ B mais avec une nouvelle vitesse angulaire ω. Nous écrivons le PFD selon ⃗ ur remplaçant ω0 par la nouvelle vitesse angulaire ω : −meρω2 = − 1 4πϵ0 Ze2 ρ2 −eBρω Avec l’expression de ω0 dans 1.1.(b), ω2 −ω2 0 −eB me ω = 0 donc ωc = eB/me. (c) Application numérique avec la valeur de ω0 : B ∼105T ! Notons que le champ magnétique terrestre est ∼10−5T et le champ magnétique qu’on peut atteindre dans le laboratoire est ∼100T avec des explosifs TNT. Mais on ne peut que maintenir cette amplitude du champ magnétique pendant même pas une seconde ! Tout pour justifier notre approximation sui- vante ωc ≪ω0. (d) Résoudre l’équation du second degré précédent pour ω et appliquer un développement limité jusqu’au premier ordre en ωc/ω0 ≪1 : ω = ωc + p ω2 c + 4ω2 0 2 = ωc 2 + ω0 r 1 + ( ωc 2ω0 )2 ≈ωc 2 + ω0 + ω2 c 8ω0 ≈ωc 2 + ω0 où nous admettons ω > 0 et nous négligeons le troisième terme dans la troisième ligne car il est un terme de l’ordre 2 en ωc/ω0. 2 L3PAPP/DL-PC Electromagnétisme II (e) Réponse directe avec le résultat précédent : ω est augmenté de ∆ω = eB/2me (pulsation de Larmor) par l’application du champ magnétique. (f) Reprenons les formules dans 1.1.(c) en remplaçant ω0 par ω. Le moment magnétique induit par le champ magnétique B⃗ uz est : ⃗ minduit = −e∆ω 2π πρ2⃗ uz qui est anti-parallèle par rapport au champ magnétique donc prouve le diamagnétisme. 2 Susceptibilité diamagnétique Dans cet exercice, nous allons calculer la susceptibilité magnétique χ du matériau. Supposons ici que les atomes de ce matériau n’ont pas de moments magnétiques sans champ magnétique. L’application d’un champ magnétique ⃗ B = B⃗ uz induit un moment magnétique par le diama- gnétisme discuté dans l’exercice précédent. Cela revient à considérer seulement ⃗ minduit. 1. Les interactions entre les électrons sont négligées et les atomes sont supposés indépendant entre eux. Cela justifie que nous pouvons utiliser le résultat 1.2.(f) : ⃗ minduit = −eωL 2π π⟨ρ2⟩⃗ uz = −Ze2 4m ⟨ρ2⟩⃗ B. Or par isotropie, ⟨ρ2⟩= ⟨x2 + y2⟩= 2⟨x2⟩= 2 3⟨x2 + y2 + z2⟩= 2 3⟨r2⟩ où nous relions le rayon sur le plan du mouvement au rayon dans l’espace. Finalement, ⃗ minduit = −Ze2 6m ⟨r2⟩⃗ B. 2. L’aimantation est le moment magnétique volumique : ⃗ M = n⃗ minduit = −nZe2 6m ⟨r2⟩⃗ B. 3. Prenons la densité du gaz est ∼1025m−3 qui est l’ordre de grandeur pour un gaz parfait sous conditions normales de température et de pression (vous la pouvez vérifier avec p = nkBT). En plus, rappelons que la taille typique pour un atome est ∼10−10m. On obtient en projectant les vecteurs selon ⃗ uz : µ0 M B = −µ0 nZe2 6m ⟨r2⟩= −6 × 10−10 ≪1. 4. Par définition, B = µ0(H + M). Nous représentons H en fonction de B en utilisant la relation précédente. H = B µ0  1 −µ0M B  = B µ0  1 + µ0 nZe2 6m ⟨r2⟩  . 5. Par définition, χ = M/H que nous avons noté χm dans le cours. χ = − µ0 nZe2 6m ⟨r2⟩ 1 + µ0 nZe2 6m ⟨r2⟩ ≈−µ0 nZe2 6m ⟨r2⟩= −6 × 10−10. 3 uploads/s3/ corrige-3-1f.pdf

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Administrationmagnétique champ moment force l’électron
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