Table des mati` eres 1 Int[Pleaseinsertintopreamble]grales doubles et triples 3

Table des mati` eres 1 Int[Pleaseinsertintopreamble]grales doubles et triples 3 1.1 Int´ egrales doubles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 D´ efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Interpr´ etation g´ eom´ etrique de l’int´ egrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Propri´ et´ es des int´ egrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Th´ eor` eme de Fubini sur un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5 Th´ eor` eme de Fubini sur un domaine quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.6 Changement de variables dans une int´ egrale double : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Int´ egrales triples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 Chapitre 1 Int´ egrales doubles et triples 3 1.1 Int´ egrales doubles : 1.1.1 D´ efinition Soit D ⊂R2 un ensemble born´ e et P un pavage de D donc D = ∪n i=1Ki. Soit f une fonction d´ efinie sur D, on appelle somme de Riemann associ´ ee ` a f et ` a P, tout r´ eel s de la forme : s = n X i=1 f(xi, yi)Ai, o` u Ai est l’aire de Ki, (xi, yi) est un point de Ki. Si lim n→+∞s existe, on dira alors que f est int´ egrable sur D, et on ´ ecrit : ZZ D f(x, y)dxdy = lim n→+∞ n X i=1 f(xi, yi)Ai Proposition 1.1 Toute fonction continue et born´ ee sur D, domaine born´ e de R2 est int´ egrable sur D. 1.1.2 Interpr´ etation g´ eom´ etrique de l’int´ egrale double Corollaire 1.2 1) RR D f(x, y)dxdy = Volume ”alg´ ebrique” sous le graphe de f. 2) RR D |f(x, y)|dxdy = Volume sous le graphe de f. 1.1.3 Propri´ et´ es des int´ egrales doubles 1) Pour tout λ, µ ∈R, on a : ZZ D (λf + µg)(x, y)dx dy = λ ZZ D f(x, y)dx dy + µ ZZ D g(x, y)dx dy 2) Si D = D1 ∪D2 et D1 ∩D2 est une courbe ou point ou vide, alors : ZZ D f(x, y)dx dy = ZZ D1 f(x, y)dx dy + ZZ D2 f(x, y)dx dy 3) ZZ D f(x, y)dx dy ≤ ZZ D |f(x, y)| dx dy 4) Si f(x, y) ≤g(x, y) pour tout (x, y) ∈D, alors ZZ D f(x, y)dx dy ≤ ZZ D g(x, y)dx dy 1.1.4 Th´ eor` eme de Fubini sur un rectangle Th´ eor` eme 1.1 Soit f une fonction continue sur un rectangle D = [a, b] × [c, d], on a : ZZ D f(x, y)dx dy = Z b a Z d c f(x, y)dy  dx = Z d c Z b a f(x, y)dx  dy Exemple 1.1 Calculer les int´ egrales suivantes : I1 = ZZ [0,π/2]×[0,π/2] sin(x + y)dx dy; I2 = ZZ [0,1]×[1,2] 1 (1 + x + 2y)2dx dy Solution : I1 = ZZ [0,π/2]×[0,π/2] sin(x + y)dx dy = Z π/2 0 Z π/2 0 sin(x + y)dx ! dy = Z π/2 0 [−cos(x + y)]π/2 0 dy = − Z π/2 0 (cos(π/2 + y) −cos y) dy = −[sin(π/2 + y) −sin y]π/2 0 = 2. I2 = Z 1 0 Z 2 1 1 (1 + x + 2y)2dy  dx = −1 2 Z 1 0  1 1 + x + 2y 2 1 dx = −1 2 Z 1 0  1 x + 5 − 1 x + 3  = −1 2 [ln(x + 5) −ln(x + 3)]1 0 = −1 2 (ln 6 −ln 4 −(ln 5 −ln 3)) = 1 2 ln 10. Remarque 1.1 Si f(x, y) = g(x) × h(y), alors : ZZ [a,b]×[c,d] f(x, y)dx dy = Z b a g(x)dx  × Z d c h(y)dy  Exemple 1.2 ZZ [0,1]×[0,2] x2 y3 2 dx dy = Z 1 0 x2dx  × Z 2 0 y3 2 dy  = 2/3 1.1.5 Th´ eor` eme de Fubini sur un domaine quelconque Lemma 1.3 Soit D ⊂R2 un ensemble born´ e quelconque. 1. Pour tout (x; y) ∈D il existe a; b ∈R tels que a ≤x ≤b. 2. Pour tout x ∈[a, b], il existe c(x); d(x) ∈R tels que c(x) ≤y ≤d(x). Au final : D =  (x, y) ∈R2 /x ∈[a, b]; y ∈[c(x), d(x)] Th´ eor` eme de Fubini sur D : Soit f : D − →R une fonction continue, alors : ZZ D f(x, y)dx dy = Z b a Z d(x) c(x) f(x, y)dy ! dx. Alternative : D =  (x, y) ∈R2 /y ∈[c, d]; x ∈[a(y), b(y)] Th´ eor` eme de Fubini sur D : ZZ D f(x, y)dx dy = Z d c Z b(y) a(y) f(x, y)dx ! dy. Exemple 1.3 Solution : I = Z 1 0 Z 1−x x−1 (x + 2y)dy  dx. Exemple 1.4 Solution : Lorsque y est compris entre 0 et 1, le nombre x varie de 2y −2 ` a 2 −y. Donc : I = Z 1 0 Z 2−y 2y−2 xydx  dy. 1.1.6 Changement de variables dans une int´ egrale double : Nous avons un r´ esultat analogue ` a celui de l’int´ egrale simple, o` u le changement de variables x = ϕ(t) nous demandait de remplacer le ≪dx ≫par ϕ′(t)dt . C’est le Jacobien qui va jouer le rˆ ole de la d´ eriv´ ee : Rappel : On appelle la matrice jacobienne de ϕ : Rn − →Rp, la matrice ` a p lignes et n colonnes : La premi` ere colonne contient les d´ eriv´ ees partielles des coordonn´ ees de ϕ par rapport ` a la premi` ere variable x1, la deuxi` eme colonne contient les d´ eriv´ ees partielles des coordonn´ ees de ϕ par rapport ` a la deuxi` eme variable x2 et ainsi de suite. Th´ eor` eme 1.2 Soit (u, v) ∈∆7→(x, y) = ϕ(u, v) ∈D une bijection de classe C1 du domaine ∆au domaine D. Soit |detJϕ| la valeur absolue du d´ eterminant de la matrice jacobienne de ϕ. Alors, nous avons : Exemple 1.5 Calculer I = RR D(x −1)2dxdy sur le domaine D =  (x, y) ∈R2 : −1 ≤x + y ≤1; −2 ≤x −y ≤2 En effectuant le changement de variable u = x + y; v = x −y. Solution : Le domaine D en (u, v) est donc le rectangle : {−1 ≤u ≤1; −2 ≤v ≤2} . On a aussi x = u + v 2 , y = u −v 2 . Le jacobien de ce changement de variables est : J =    ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v   =    1 2 1 2 1 2 −1 2    Dont le d´ eterminant vaut −1/2. Et donc : I = 1 8 Z 2 −2 Z 1 −1 (u + v −2)2du  dv = 136 3 Changement de variables en coordonn´ ees polaires : Soit ϕ : R2 − →R2 telle que (r, θ =) 7→(r cos θ, r sin θ). Alors ϕ est de classe C1 sur R2, et son jacobien vaut : Jϕ(r, θ) = cos θ −r sin θ sin θ r cos θ = r Exemple 1.6 Exemple 1.7 Calculons l’aire du parabolo¨ ıde Le moment d’inertie : Le moment d’inertie d’une plaque de m´ etal qui occupe une r´ egion D et dont la densit´ e est donn´ ee par ρ(x, y) par rapport uploads/s3/ analyse-3 1 .pdf

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