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1 SEANCE N° 2 Chapitre 1 : Etude des Fonctions (Partie II) Objectif : Définir l

1 SEANCE N° 2 Chapitre 1 : Etude des Fonctions (Partie II) Objectif : Définir les fonctions (suite). Expliquer la différence entre les fonctions explicites et les fonctions implicites. Etudier les fonctions trigonométriques et comprendre le sens exact d’une fonction. Contenu : 1.1 Définition des fonctions (Suite) 1.1.3. Ensemble image Soit A un sous ensemble du domaine de la fonction f. L’ensemble image de A est noté ( ) f A et se définie par ( ) ( ) { } ∈ f A y f x x A = = où : c’est l’ensemble des images par f des éléments de A. Exemple : ( ) = f x x 2 −1 et [ ] ;3 A = 2 . On a ( ) [ ] ∈⇔ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ = x x x f A 2 3 3 2 5 3;5 −1 1.1.4. Image réciproque Soit B un sous ensemble de ( ) f D . On appelle image réciproque de B, l’ensemble noté ( ) ( ) { } / 1 où f B x D y B y f x − = ∈ ∃ ∈ = . C’est aussi l’ensemble des antécédents par f des éléments de B. Exemple : ( ) = + f x x 2 . Déterminer, l’image réciproque de F = [ ] 1;3 − La fonction f tel que ( ) = y f x , possède une fonction réciproque ( ) 1 − = x f y si et seulement si la fonction f est bijective c’est-à-dire qu’à chaque valeur de y correspond une valeur unique x. La réciproque est différente de l’inverse d’une fonction. 1 −= f f 1 Exemple : Si ( ) 1 f x x x x = ⇒ ≠ 2 Si par contre ( ) ( ) -1 -1 sin sin arcsin sin cosec sin f x x x x x x x 1 = ⇒ = ≠ = = 1.1.5. Fonction monotone Soit f une fonction définie de R vers R et I un sous-ensemble de Df. On rappelle que : f est dite croissante sur I si ( ) ( ) , ; 1 2 1 2 1 2 x x x x f x f x ∀ ≤ ⇒ ≤ ∈ ; Ι f est dite strictement croissante sur I si ( ) ( ) , ; 1 2 1 2 1 2 x x x x f x f x ∀ < ⇒ < ∈ ; Ι f est dite décroissante sur I si ( ) ( ) , ; 1 2 1 2 1 2 x x x x f x f x ∀ ≤ ⇒ ≥ ∈ ; Ι f est dite strictement décroissante sur I si ( ) ( ) , ; 1 2 1 2 1 2 x x x x f x f x ∀ < ⇒ > ∈ ; Ι f est dite monotone sur I si elle est soit croissante ou soit décroissante sur I. Si tous les éléments de A ont une image dans B, on dira que la fonction f est une application. 1.1.6. Courbe représentative d’une fonction Le plan est muni d’un repère ( r r r o,i j , ). Soit f une fonction de R dans R . On appelle courbe représentative de f, l’ensemble Cf des points ( ) ( ) M x,f x où x est un élément de Df. r j r o r i 3 1.1.7. Opération sur les fonctions - On rappelle qu’il peut être défini la somme S de deux fonctions, le produit P de deux fonctions et la multiplication par un scalaire. S = f + g ; P = fg. Si a est un scalaire, alors K = af. g g = f f D D D + ∩ ; g g = f f D D D ∩ ; = af f D D . - On rappelle aussi la notion de composition de fonction : Soit f une fonction définie de A vers B et g une autre fonction définie de B vers C. On appelle composée de f par g, la fonction notée g o f et définit par ( ) ( ) g g   =   o f x f x . On a : ( ) { } / g g g = ∈ o f f D x D x D ∈ Généralement, g g ≠ o o f f . Exemple : Soit ( ) = f x x 2 et ( ) g = x x −1. Calculer g o f et g o f . ( ) ( ) ( ) g g   =   = o f x f x x 2 −1 ( ) ( ) f x f x x   =   = o g g 2 −1 NB : ( ) ( ) 1 1 − − = = o o f f x f f x x 1.2 Les types de fonction (Formes explicites, Formes implicites) 1.2.1 Formes explicites Une forme est dite explicite si elle peut se mettre sous la forme ( ) = y f x , y est définie explicitement en terme de x. Exemple: ; avec + = = ≠ x y x y a a 2 2 2 2 0 ; ( ) ln 2 y x = −1 , ; 2 sin 2 y x y x = = −1 4 Les fonctions transcendantes sont représentées par des fonctions exponentielles, des fonctions logarithmiques et des fonctions trigonométriques comme : ( ) ( ) 2 ln 2 sin 2 x e x y x = − + −1 − +1 1.2.2 Formes implicites Soit une fonction f(x, y) dans laquelle y = y(x) définie par la relation f(x, y) = 0 ; si y est difficile à isoler, on dit alors que la fonction f(x, y) = 0 est implicite. Exemple : ( ) 4 ; 2 cos 2 = 0 sin 2 ln 3 2 xy x e xy xy x y y  = +     − − . 1.3 Fonctions trigonométriques 1.3.1 Rappels de trigonométrie - Radians et cercle trigonométrique Le radiant est une unité de mesure d’angle (orienté) définie par le fait que la mesure d’un angle est π radians. Un angle droit par exemple mesurer ± π 2 radians. On appelle cercle trigonométrique le cercle centré en l’origine de rayon 1. La circonférence de ce cercle mesure π 2 . Pour représenter un angle de x radians, on considère un arc de cercle de longueur x orienté dans le sens trigonométrique (c’est-à-dire dans le sens contraire des aiguilles d’une montre). - Les fonctions sinus, cosinus et tangente Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur R , aux valeurs dans [ ] 1;1 − et π 2 - périodiques. La variable x désigne une mesure d’angle exprimée en radians. Par ailleurs, la fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire. 5 On appelle fonction tangente la fonction notée tan définie sur \ 2 π π   +     R Z par tanx = sin cos x x . La fonction tangente est impaire et de période π . NB : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . arcsin sin , arccosu cos , cosec , et sec sin cos f u u u f u u f u u f u u u u − − = = = = = = = = 1.3.2 Rappels de quelques formules trigonométriques Il s’agit dans cette sous-section de rappeler quelques formules trigonométriques usuelles : 1-) 2 2 sin cos 1 x x + = 2-) 2 2 1 tan sec x x + = 3-) 2 2 1 cotan cosec x x + = 4-) ( ) 1 2 sin 1 cos2 2 x x = − 5-) ( ) 1 cos2 1 cos2 2 x x = + 6-) 1 sin cos sin2 2 x x x = 7-) ( ) ( ) 1 sin cos sin sin 2 x y x y x y   = +   − + 8-) ( ) ( ) 1 sin sin cos cos 2 x y x y x y   = −   − + 9-) ( ) ( ) 1 cos cos cos cos 2 x y x y x y   =   − + + 10-) 2 1 cos 2sin 2 x x   − =     11-) 2 1+cos 2cos 2 x x   =     6 12-) 1 sin cos 2 x x   =     π− 1.4 Sens exact d’une fonction Supposons une fonction quelconque ( ) y f x = et a une valeur réelle quelconque que uploads/s3/ support-de-cours-seance-n02-analyse-mathematique-2020-2021.pdf