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Opti Feuilles d ? exercices d ? Optimisation Alexandre Marino C Existence et Unicit ?e ? semi-continuit ?e inf ?erieure ? La semi-continuit ?e inf ?erieure s ? exprime d ? une mani ere analytique ou g ?eom ?etrique comme suit En tout point x ?? IRn on a l

Feuilles d ? exercices d ? Optimisation Alexandre Marino C Existence et Unicit ?e ? semi-continuit ?e inf ?erieure ? La semi-continuit ?e inf ?erieure s ? exprime d ? une mani ere analytique ou g ?eom ?etrique comme suit En tout point x ?? IRn on a lim infx ?x f x ? f x in ?egalit ?e dans R ?? ? Pout tout ?? IR ? la coupe a hauteur ? x ?? IRn f x ? est ferm ?e L ? ?epigraphe de f c ? est a dire ? ce qui est au dessus du graphe de f ? x r ?? IRn ? IR f x ? r est ferm ?e Exercice V ?eri ?er l ? ?equivalence des trois d ?e ?nitions pr ?ec ?edentes Exercice Montrer les propri ?et ?es suivantes La fonction caract ?eristique d ? un ouvert resp ferm ?e est semi-continue inf ?erieurement resp sup ?erieurement Une fonction a valeur dans IR est continue si et seulement si elle est a la fois semi-continue inf ?erieurement et sup ?erieurement La borne sup d ? une famille de fonctions semi-continues inf ?erieurement est semi-continue inf ?erieurement ? - coercivit ?e ? Exercice Montrer que si f est continue -coercive limx ??K x ? ? f x ? alors l ? image r ?eciproque d ? un compact est un compact Exercice Existence d ? un minimum On considere le probleme min f x x ??K D ?emontrer le th ?eor eme suivant Th ?eoreme On suppose dans le probleme que K est ferm ?e et il existe un point de K en lequel f est ?nie f est semi-continue inf ?erieurement sur IRn limx ??K x ? ? f x ? f -coercive Alors f est born ?ee inf ?erieurement sur K et il existe x ?? K tel que f x infx ??K f x C ? Th ?eoreme de Weierstrass et convexit ?e ? Exercice Une fonction f O ? IRn ? IR convexe sur un ouvert convexe O y est continue Exercice Soit f une fonction convexe et K un ensemble convexe ferm ?e dans IRn Alors le probleme admet au moins une solution si l ? une des deux conditions suivantes est satisfaite lim x ? ? f x ? K est born ?e Sous ces hypotheses montrer que l ? ensemble des solutions optimales du probleme est un ensemble convexe et born ?e Montrer que le probl eme admet une unique solution si la fonction f est strictement convexe Applications Exercice Soit K ferm ?e de IRn a ?? IRn et f x ? a ?? x alors il existe x tel que a ?? x ? a ?? x Exercice f x ?? IRn ? f x Ax x b x c Avec A sym ?etrique d ?e ?nie positive Pour tout ferm ?ee K de IRn il existe alors un unique x ?? K minimisant f sur K C Condition de minimalit ?e Condition