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Eleve produit scalaire Chapitre ère S PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN I Produit scalaire de deux vecteurs Dé ?nitions Dé ?nition Pour vecteurs u et v le produit scalaire de u et v est le réel noté u v dé ?ni par u v u ? v ? cos u v Exemple OA ? OB ? OA ? OD

Chapitre ère S PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN I Produit scalaire de deux vecteurs Dé ?nitions Dé ?nition Pour vecteurs u et v le produit scalaire de u et v est le réel noté u v dé ?ni par u v u ? v ? cos u v Exemple OA ? OB ? OA ? OD ? B F G H E D C OA ? OG ? A' A ? OL ? OG ? OR ? A' A ? BB ' ? A' O A A' A ? FE ? KD ? FE ? J K L B' S R Q Remarques - le produit scalaire est un nombre réel On a donc a ?aire à une opération qui à partir de deux vecteurs associe un autre objet mathématique un nombre - si l ? un des vecteurs est nul alors u et u Dé ?nition Deux vecteurs sont orthogonaux s ? ils ont des directions orthogonales ou si l ? un d ? eux est nul Cas particuliers on considère deux vecteurs u et v non nuls a Si u et v sont colinéaires et de même sens alors u v donc u v b Si u et v sont colinéaires et de sens contraire alors u v donc u v c Si u et v sont orthogonaux alors u v donc u v Propriété Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul Propriétés On considère des vecteurs u v et w et k un réel On a alors u v v u u v w u v u w u k v k ? u v u u u ? u ? carré scalaire de u On en déduit les formules u v u ?? v u v ? u ?? v ? ainsi qu ? une autre expression du produit scalaire sous la forme u v u ? v ? - u - v ? CII Produit scalaire et projection On considère u et on pose u AB et v AC On appelle H le projeté orthogonal de C sur la droite AB Propriété Si AH est le projeté orthogonal de AC sur la droite AB alors AB AC AB ? AH lorsque H ?? AB AB AC ??AB ? AH lorsque H ?? AB III Produit scalaire et coordonnées Propriété Dans une base ? i ? j le produit scalaire des vecteurs ? u x y et ? v x ? y ? est ? u ? v xx ? yy ? Exemple ? u - et ? v ? u ? v Donc les vecteurs ? u et ? v sont ? ? ? ? ? ? IV Exemples Exemple ABC est un triangle tel que AB BC et B Error rad Soit K le milieu de BC et H le projeté orthogonal de A sur BC Calculer BA BC AH BC et BC CK Exemple ABCD est un rectangle de centre O tel que AB et AD a