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Outils maths Outils mathématiques Éléments d ? analyse vectorielle Systèmes de coordonnées ? cartésien z M O x ? cylindriques vecteur position O M ? x e ?x y e ?y z e ?z déplacement élémentaire d ? ? dx e ?x dy e ?y dz e ?z y volume élémentaire d dxdydz z

Outils mathématiques Éléments d ? analyse vectorielle Systèmes de coordonnées ? cartésien z M O x ? cylindriques vecteur position O M ? x e ?x y e ?y z e ?z déplacement élémentaire d ? ? dx e ?x dy e ?y dz e ?z y volume élémentaire d dxdydz z M O z ? x ? sphériques z M r O x O M ? ? e ? ? z e ?z d ? ? d ? e ? ? ?d e ? dz e ?z d ?d ?d dz F F F F x ? cos y F F F F y ? sin F F F F F F z z O M ? r e ?r d ? ? dr e ?r rd e ? r sin d e ? d r sin drd d F F F F x r sin cos y F F F F y r sin sin F F F F F F z r cos C Notions de champs Un champ est une grandeur physique dé ?nie en tout point et à tout instant dans un certain domaine de l ? espace et du temps il peut s ? agir d ? un champ scalaire tel que le champ de pression ou de température dans un uide la fonction d ? onde d ? une particule sans spin d ? un champ vectoriel tel que le champ électromagnétique le champ des vitesses dans un uide en mouvement Pour décrire le mouvement d ? une particule classique il n ? est pas nécessaire d ? introduire la notion de champ car celle-ci ne possède que trois degrés de liberté Par contre si on s ? intéresse à des systèmes possédant une in ?nité de degrés de liberté un uide par exemple le recours aux champs s ? impose D ? un point de vue mathématique un champ est une application de x y z t ?? R vers un certain espace vectoriel normé et dérivable a Lignes de champ tube de champ Un champ vectoriel A ? x y z se visualise au moyen de ses lignes de champ On construit une ligne de champ en partant d ? un point M et en se déplaçant d ? une quantité ds dans la direction du champ A ? M dé ?ni en ce point En répétant le processus on décrit une ligne polygonale formée des points Mi dé ?nis de proche en proche par M iMi ? A ? Mi ds En faisant tendre ds ? on obtient la ligne de champ associée au champ de vecteurs A ? passant par le point M Par construction en tout point d ? une ligne de champ la tangente est colinéaire au champ qui existe en ce point A ?ds d ? ? o? d ? ? est le déplacement élémentaire sur la ligne de champ le champ A ? x y z étant donné on obtient le système di ?érentiel du