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Maths signal 06 Université de Caen - UFR de Sciences Les distributions ?? UNE INTRODUCTION A LA THEORIE DES DISTRIBUTIONS G BINET MdC MathsSignal CUniversité de Caen - UFR de Sciences Les distributions ?? UNE INTRODUCTION A LA THEORIE DES DISTRIBUTIONS I

Université de Caen - UFR de Sciences Les distributions ?? UNE INTRODUCTION A LA THEORIE DES DISTRIBUTIONS G BINET MdC MathsSignal CUniversité de Caen - UFR de Sciences Les distributions ?? UNE INTRODUCTION A LA THEORIE DES DISTRIBUTIONS I INSUFFISANCE DES FONCTIONS L ? IMPULSION Quel est le problème La solution des physiciens Une nouvelle dérivation II PRINCIPE DES DISTRIBUTIONS II L ? IDEE DE BASE II ESPACE D DES FONCTIONS TEST Fonction test Construction de l ? espace D Théorème Théorème II DEFINITION INDIRECTE D ? UNE FONCTION Théorème Nouvelle dé ?nition d ? une fonction II DEFINITION DES DISTRIBUTIONS Dé ?nition Distribution régulière Distribution singulière Ensemble des distributions Causalité II EXEMPLES DE DISTRIBUTIONS Echelon d ? Heaviside Constante K Distribution de Dirac ? Peigne de Dirac Signal discret II PROPRIETES ELEMENTAIRES Somme Translation Distribution périodique Facteur d ? échelle Distribution paires ou impaires Produit d ? une distribution par une fonction C ? Autres propriétés III DERIVATION CONVERGENCE CONVOLUTION DANS D ? III DERIVATION Dé ?nition Dérivée au sens des distributions dans le cas des fonctions Exemples Fonction ayant des discontinuités Dérivée d ? ordre n d ? une fonction Cn par morceaux Propriétés de la dérivation Dérivées de la distribution de Dirac G BINET MdC MathsSignal CUniversité de Caen - UFR de Sciences Les distributions III CONVERGENCES DANS D ? Dé ?nition pour une distribution régulière Généralisation à toute distribution Exemples Convergence d ? une famille de fonctions théorèmes Propriétés de convergence dans D ? III APPLICATION DE LA CONVERGENCE FORMULE DE POISSON III PRODUIT DE CONVOLUTION Condition d ? existence Dé ?nition Commutativité Cas important de la distribution de Dirac Autocorrélation Propriétés Autres propriétésdu produit de convolution Conséquences Associativité III CONVOLUTION DISCRETE Théorèmes d ? existence Corrélation discrète IV LES DISTRIBUTIONS ET LES TRANSFORMEES IV TRANSFORMEE DE FOURIER Cas des fonctions Rappels sur la transformée de Fourier des fonctions Problème pour les distributions Distributions tempérées dé ?nitions La transformée de Fourier au sens des distributions En bref Quelques distributions tempérées Dérivée Polynômes Convolution IV PROPRIETES DE LA TRANSFORMEE DE FOURIER DANS S ? R Dérivation de la transformée de Fourier Transformée de Fourier de la dérivée Retard Produit de convolution Symétrie IV LES TRANSFORMEES DE FOURIER USUELLES Distribution de- Dirac Constante k ?? C Exponentielle imaginaire déphaseur Peigne de Dirac Fonction signe Sign t Echelon d ? Heaviside Y t Signaux périodiques Signaux discrets Reconstruction de Shannon G BINET MdC MathsSignal CUniversité de Caen - UFR de Sciences Les distributions IV TRANSFORMEE DE LAPLACE Dé ?nition Fonction causale Produit de convolution Théorème du retard Théorème de la dérivée Fonction discontinue EN RESUME I INSUFFISANCE DES FONCTIONS L ? IMPULSION II PRINCIPE DES DISTRIBUTIONS III DERIVATION IV CONVERGENCES DANS D ? V PRODUIT DE CONVOLUTION La représentation des fonctions périodiques La convolution discrète VI TRANSFORMEE DE FOURIER VII TRANSFORMEE DE LAPLACE Dé ?nition Les propriétés EXERCICES G BINET MdC MathsSignal CUniversité de Caen - UFR de Sciences Les distributions Dans le domaine des sciences physiques il a