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Corrige td4 lm360 1 LM Math ?ematiques TD de topologie et calcul di ? ?erentiel ?? Corrig ?e de la Feuille Espaces complets Point ?xes Groupe de TD La compl ?etude est une notion d ? espace topologique m ?etrique et qui ne d ?epend pas seulement de la top

LM Math ?ematiques TD de topologie et calcul di ? ?erentiel ?? Corrig ?e de la Feuille Espaces complets Point ?xes Groupe de TD La compl ?etude est une notion d ? espace topologique m ?etrique et qui ne d ?epend pas seulement de la topologie des espaces concern ?es En particulier la compl ?etude n ? est pas une notion pr ?eserv ?ee par hom ?eomorphisme contrairement a la compacit ?e ou la connexit ?e voir l ? exercice Rappelons qu ? une suite an n ??N est de Cauchy dans une espace m ?etrique E d si et seulement si d ap an ?? ? ou min d ?esigne le minimum min n p ? ? Exercice On considere un espace discret muni de la distance d telle que d x y si x y Quelles sont ses suites de Cauchy Est-il complet Correction Soit an n ??N une suite de Cauchy Alors pour tout il existe m ?? N tel que pour tout n p m on a d an ap En particulier pour ou en fait tout ? on obtient que an ap pour tout p n m Donc la suite an n ??N est stationaire pour n assez grand R ?eciproquement toute suite stationaire pour n assez grand est de Cauchy Une suite stationaire est ?evidemment convergente donc l ? espace consid ?er ?e est complet Exercice Donner un exemple d ? espaces m ?etriques X et Y hom ?eomorphes tels que X soit complet et Y ne le soit pas Correction Consid ?erons l ? intervalle ouvert I ?? ? ? dans R muni de sa distance usuelle L ? intervalle I n ? est pas complet car I est ouvert dans R et qu ? un espace complet est ferm ?e d ? apres le cours Consid ?erons maintenant l ? application tangente tan I ? R d ?e ?nie par x ? tan x C ? est une application continue et bijective dont l ? inverse est donn ?e par la fonction arctan R ? I x ? arctan x Il est bien connu que la fonction arctangente est ?egalement continue donc tan I ? R est une hom ?eomorphisme de I sur R Mais R est complet d ? apr es le cours Il y avait bien entendu bien d ? autres exemples possibles Par exemple la fonction x ? exp x d ?e ?nie de R dans ? Exercice Soit X et Y deux espaces m ?etriques et f une application X ? Y a Montrer que si f est uniform ?ement continue alors elle conserve les suites de Cauchy Qu ? en est-il de la r ?eciproque b Supposons f uniform ?ement continue bijective et de r ?eciproque continue Montrer que si Y est complet X l ? est aussi Correction a Soit an n ??N une suite de Cauchy dans X On veut montrer que la suite f an n ??N est de Cauchy dans Y C ?