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Chap 09 Chapitre Suites numériques Objectifs ?? Dé ?nir l ? ensemble des suites réelles et étudier la structure de cet ensemble ?? Donner la dé ?nition générale de limite et ses applications ?? Étudier les propriétés des limites vis à vis des opérations e

Chapitre Suites numériques Objectifs ?? Dé ?nir l ? ensemble des suites réelles et étudier la structure de cet ensemble ?? Donner la dé ?nition générale de limite et ses applications ?? Étudier les propriétés des limites vis à vis des opérations et de la relation d ? ordre ?? Étudier le lien entre le sens de variation d ? une suite et la notion de limite ?? Étendre ces di ?érentes notions aux suites complexes ?? Dé ?nir les trois relations de comparaison entre les suites Plan Suites numériques I Suites réelles généralités Dé ?nitions Vocabulaire Opérations sur les suites II Suites convergentes Dé ?nition Premières propriétés Convergence et opérations Convergence et relation d ? ordre III Suites ayant une limite in ?nie Dé ?nition Limite in ?nie et ordre Limite in ?nie et opérations IV Théorèmes d ? existence d ? une limite Suites monotones Suites adjacentes Le théorème de BOLZANO - WEIERSTRASS V Extension aux suites complexes Dé ?nitions Convergence Propriétés VI Comparaison des suites Dé ?nitions Les exemples classiques Propriétés MPSI Lycée Guez De Balzac CSuites réelles généralités VII Annexe Structure d ? anneau Relation d ? équivalence VIII Exercices I Suites réelles généralités Dé ?nitions Dé ?nition Une suite numérique u est une application de A vers R u A ? R o? A est une partie de N Par convention le réel u n est noté un et la suite u est parfois notée un n ??A Si la partie A est ?nie on dit que la suite u est une suite ?nie L ? ensemble des suites réelles dé ?nies sur A est donc l ? ensemble des applications de A vers R c ? est à dire F A R On prendra garde à ne pas confondre un qui est un réel terme de rang n avec un n ??A qui désigne la suite u Les suites ?nies présentant peu d ? intérêt on étudiera seulement le cas o? A est une partie in ?nie de N On peut alors montrer qu ? il est toujours possible de se ramener au cas o? A N si bien que dans la suite de ce chapitre on étudiera F N R l ? ensemble des suites réelles dé ?nies sur N Vocabulaire ?? Sens de variation soit u une suite réelle et p un entier on dit que la suite u est ?? croissante à partir du rang p lorsque ?? n p un un ?? strictement croissante à partir du rang p lorsque ?? n p un un ?? décroissante à partir du rang p lorsque ?? n p un un ?? strictement décroissante à partir du rang p lorsque ?? n p un un ?? constante ou stationnaire à partir du rang p lorsque ?? n p un un ?? monotone lorsque u est croissante ou bien décroissante ?? strictement monotone lorsque u est strictement croissante ou bien strictement décroissante Étudier le sens de variation de u peut se faire en étudiant