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Transformee de fourier numerique et discrete applications

Dept GEII IUT Bordeaux I TRANSFORMEES de FOURIER NUMERIQUE et DISCRETE FAST FOURIER TRANSFORM APPLICATIONS Vol G Couturier Tel email couturier elec iuta u-bordeaux fr CSommaire I- Transformée de Fourier numérique II- Transformée de Fourier discrète II- - les fenêtres d'analyse CTransformées de Fourier numérique et discrète FFT Fast Fourier Transform Applications Nous avons montré précédemment l'intérêt de la transformée de Fourier pour obtenir par exemple la réponse en fréquence H f d'un système Le calcul de la transformée de Fourier pose cependant un certain nombre de problèmes en e ?et un ordinateur ne peut traiter que des signaux numériques ceux-ci sont obtenus après un échantillonnage et une quanti ?cation Par ailleurs la mémoire d'un ordinateur est forcément limitée il s'ensuit que le calcul porte sur un nombre de points limités Dans cette partie on se propose de passer en revue l'ensemble des problèmes posés par l'utilisation de la transformée de Fourier discrète I- Transformée de Fourier numérique On rappelle que la transformée de Fourier X f d'un signal x t continu dans le temps s'écrit ? X f ? x t e ?? j ?tdt ?? ? Après échantillonnage de x t on obtient les échantillons x nTe o? Te est la période d'échantillonnage Nous avons vu précédemment que le spectre du signal échantillonné était périodique de période égale à Fe Te et que son module était pair D'un point de vue mathématique la transformée de Fourier X f des échantillons x nTe appelée transformée de Fourier numérique s'écrit ? X f k ? x k e ?? j ?kTe k ?? ? NB pour simpli ?er l'écriture on écrit x k à la place de x kTe ce qui sous entend un échantillonnage à la fréquence Fe Te On véri ?e bien que X f est une fonction périodique de période Fe en e ?et si on remplace f par f MFe on obtient toujours le même résultat e e e e e e ?? j ? f MFe kTe ?? j ?fkTe ?? j ?MFe kTe ?? j ?fkTe ?? j ?Mk ?? j ?fkTe Par ailleurs on remarque que les parties réelle et imaginaire de X f sont respectivement des fonctions paire et impaire de la variable f il s'ensuit que le module de X f est également une fonction paire de la variable f La périodicité de X f résulte de l'échantillonnage c'est un résultat que nous avions déjà obtenu en étudiant la théorie de l'échantillonnage Avec un ordinateur il est impossible de calculer X f pour k allant de - ? à ? en e ?et il faudrait une mémoire in ?nie En pratique le nombre d'échantillons est limité à N par exemple on ne calcule donc pas X f mais Z f qui s'écrit alors ? Z f k N ?? z k e ?? j ?kTe k Cx t t X f échantillonneur théorique signal échantillonné Te t X f f f -Fe -Fe Fe F e Fig Transformée de Fourier X